Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108985 / 101309
↖ ↑ ↗
← S 69.593017°
E119.336243°		 ← 106.50 m → S 69.593017°
E119.338989°		 →
↑
106.46 m
↓
↑
106.46 m
↓
S 69.593975°
E119.336243°		 ← 106.49 m →
11 337 m²		 S 69.593975°
E119.338989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831493377685547 y=0.772930145263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831493377685547 × 217)
    floor (0.831493377685547 × 131072)
    floor (108985.5)     		tx = 108985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772930145263672 × 217)
    floor (0.772930145263672 × 131072)
    floor (101309.5)     		ty = 101309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108985 / 101309 ti = "17/108985/101309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108985/101309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108985 ÷ 217
    108985 ÷ 131072     		x = 0.831489562988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101309 ÷ 217
    101309 ÷ 131072     		y = 0.772926330566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831489562988281 × 2 - 1) × π
    0.662979125976562 × 3.1415926535     		Λ = 2.08281035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772926330566406 × 2 - 1) × π
    -0.545852661132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.71484671010827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08281035} λ = 2.08281035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71484671010827))-π/2
    2×atan(0.179991309446859)-π/2
    2×0.178084520402537-π/2
    0.356169040805074-1.57079632675     		φ = -1.21462729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08281035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.336243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21462729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.593017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108985 KachelY 101309 2.08281035 -1.21462729 119.336243 -69.593017
    Oben rechts KachelX + 1 108986 KachelY 101309 2.08285829 -1.21462729 119.338989 -69.593017
    Unten links KachelX 108985 KachelY + 1 101310 2.08281035 -1.21464400 119.336243 -69.593975
    Unten rechts KachelX + 1 108986 KachelY + 1 101310 2.08285829 -1.21464400 119.338989 -69.593975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21462729--1.21464400) × R
    1.67100000001419e-05 × 6371000     		dl = 106.459410000904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21462729--1.21464400) × R
    1.67100000001419e-05 × 6371000     		dr = 106.459410000904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08281035-2.08285829) × cos(-1.21462729) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348686270715504 × 6371000     		do = 106.497762261053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08281035-2.08285829) × cos(-1.21464400) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34867060939474 × 6371000     		du = 106.49297889057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21462729)-sin(-1.21464400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348686270715504-0.34867060939474)×R²
    abs(2.08285829-2.08281035)×1.56613207631384e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56613207631384e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56613207631384e-05×40589641000000     		ar = 11337.4343194094m²