Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108985 / 101307
↖ ↑ ↗
← S 69.591101°
E119.336243°		 ← 106.51 m → S 69.591101°
E119.338989°		 →
↑
106.52 m
↓
↑
106.52 m
↓
S 69.592059°
E119.336243°		 ← 106.50 m →
11 345 m²		 S 69.592059°
E119.338989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831493377685547 y=0.772914886474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831493377685547 × 217)
    floor (0.831493377685547 × 131072)
    floor (108985.5)     		tx = 108985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772914886474609 × 217)
    floor (0.772914886474609 × 131072)
    floor (101307.5)     		ty = 101307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108985 / 101307 ti = "17/108985/101307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108985/101307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108985 ÷ 217
    108985 ÷ 131072     		x = 0.831489562988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101307 ÷ 217
    101307 ÷ 131072     		y = 0.772911071777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831489562988281 × 2 - 1) × π
    0.662979125976562 × 3.1415926535     		Λ = 2.08281035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772911071777344 × 2 - 1) × π
    -0.545822143554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.71475083630903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08281035} λ = 2.08281035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71475083630903))-π/2
    2×atan(0.180008566724773)-π/2
    2×0.17810123609247-π/2
    0.356202472184939-1.57079632675     		φ = -1.21459385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08281035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.336243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21459385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.591101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108985 KachelY 101307 2.08281035 -1.21459385 119.336243 -69.591101
    Oben rechts KachelX + 1 108986 KachelY 101307 2.08285829 -1.21459385 119.338989 -69.591101
    Unten links KachelX 108985 KachelY + 1 101308 2.08281035 -1.21461057 119.336243 -69.592059
    Unten rechts KachelX + 1 108986 KachelY + 1 101308 2.08285829 -1.21461057 119.338989 -69.592059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21459385--1.21461057) × R
    1.67200000000811e-05 × 6371000     		dl = 106.523120000517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21459385--1.21461057) × R
    1.67200000000811e-05 × 6371000     		dr = 106.523120000517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08281035-2.08285829) × cos(-1.21459385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348717611809497 × 6371000     		do = 106.507334637879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08281035-2.08285829) × cos(-1.21461057) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348701941311242 × 6371000     		du = 106.502548464353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21459385)-sin(-1.21461057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348717611809497-0.348701941311242)×R²
    abs(2.08285829-2.08281035)×1.56704982556821e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56704982556821e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56704982556821e-05×40589641000000     		ar = 11345.2386697952m²