Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108979 / 100587
↖ ↑ ↗
← S 68.890242°
E119.319763°		 ← 110 m → S 68.890242°
E119.322510°		 →
↑
109.96 m
↓
↑
109.96 m
↓
S 68.891231°
E119.319763°		 ← 110 m →
12 096 m²		 S 68.891231°
E119.322510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831447601318359 y=0.767421722412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831447601318359 × 217)
    floor (0.831447601318359 × 131072)
    floor (108979.5)     		tx = 108979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767421722412109 × 217)
    floor (0.767421722412109 × 131072)
    floor (100587.5)     		ty = 100587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108979 / 100587 ti = "17/108979/100587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108979/100587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108979 ÷ 217
    108979 ÷ 131072     		x = 0.831443786621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100587 ÷ 217
    100587 ÷ 131072     		y = 0.767417907714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831443786621094 × 2 - 1) × π
    0.662887573242188 × 3.1415926535     		Λ = 2.08252273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767417907714844 × 2 - 1) × π
    -0.534835815429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.68023626858259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08252273} λ = 2.08252273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68023626858259))-π/2
    2×atan(0.186329946925813)-π/2
    2×0.184217395451549-π/2
    0.368434790903098-1.57079632675     		φ = -1.20236154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08252273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.319763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20236154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.890242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108979 KachelY 100587 2.08252273 -1.20236154 119.319763 -68.890242
    Oben rechts KachelX + 1 108980 KachelY 100587 2.08257067 -1.20236154 119.322510 -68.890242
    Unten links KachelX 108979 KachelY + 1 100588 2.08252273 -1.20237880 119.319763 -68.891231
    Unten rechts KachelX + 1 108980 KachelY + 1 100588 2.08257067 -1.20237880 119.322510 -68.891231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20236154--1.20237880) × R
    1.72599999999079e-05 × 6371000     		dl = 109.963459999413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20236154--1.20237880) × R
    1.72599999999079e-05 × 6371000     		dr = 109.963459999413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08252273-2.08257067) × cos(-1.20236154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360155698528637 × 6371000     		do = 110.000820738254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08252273-2.08257067) × cos(-1.20237880) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360139596755471 × 6371000     		du = 109.995902842269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20236154)-sin(-1.20237880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360155698528637-0.360139596755471)×R²
    abs(2.08257067-2.08252273)×1.61017731656887e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61017731656887e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61017731656887e-05×40589641000000     		ar = 12095.8004568875m²