Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108977 / 100583
↖ ↑ ↗
← S 68.886284°
E119.314270°		 ← 110 m → S 68.886284°
E119.317016°		 →
↑
110.03 m
↓
↑
110.03 m
↓
S 68.887274°
E119.314270°		 ← 109.99 m →
12 102 m²		 S 68.887274°
E119.317016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831432342529297 y=0.767391204833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831432342529297 × 217)
    floor (0.831432342529297 × 131072)
    floor (108977.5)     		tx = 108977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767391204833984 × 217)
    floor (0.767391204833984 × 131072)
    floor (100583.5)     		ty = 100583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108977 / 100583 ti = "17/108977/100583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108977/100583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108977 ÷ 217
    108977 ÷ 131072     		x = 0.831428527832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100583 ÷ 217
    100583 ÷ 131072     		y = 0.767387390136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831428527832031 × 2 - 1) × π
    0.662857055664062 × 3.1415926535     		Λ = 2.08242686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767387390136719 × 2 - 1) × π
    -0.534774780273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.68004452098411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08242686} λ = 2.08242686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68004452098411))-π/2
    2×atan(0.186365678671289)-π/2
    2×0.184251928035524-π/2
    0.368503856071049-1.57079632675     		φ = -1.20229247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08242686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.314270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20229247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.886284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108977 KachelY 100583 2.08242686 -1.20229247 119.314270 -68.886284
    Oben rechts KachelX + 1 108978 KachelY 100583 2.08247479 -1.20229247 119.317016 -68.886284
    Unten links KachelX 108977 KachelY + 1 100584 2.08242686 -1.20230974 119.314270 -68.887274
    Unten rechts KachelX + 1 108978 KachelY + 1 100584 2.08247479 -1.20230974 119.317016 -68.887274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20229247--1.20230974) × R
    1.72700000000692e-05 × 6371000     		dl = 110.027170000441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20229247--1.20230974) × R
    1.72700000000692e-05 × 6371000     		dr = 110.027170000441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08242686-2.08247479) × cos(-1.20229247) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.360220132534341 × 6371000     		do = 109.997550917623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08242686-2.08247479) × cos(-1.20230974) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.360204021861827 × 6371000     		du = 109.992631329959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20229247)-sin(-1.20230974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360220132534341-0.360204021861827)×R²
    abs(2.08247479-2.08242686)×1.6110672513503e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6110672513503e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6110672513503e-05×40589641000000     		ar = 12102.4485906162m²