Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108963 / 101227
↖ ↑ ↗
← S 69.514341°
E119.275818°		 ← 106.89 m → S 69.514341°
E119.278565°		 →
↑
106.91 m
↓
↑
106.91 m
↓
S 69.515303°
E119.275818°		 ← 106.89 m →
11 427 m²		 S 69.515303°
E119.278565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831325531005859 y=0.772304534912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831325531005859 × 217)
    floor (0.831325531005859 × 131072)
    floor (108963.5)     		tx = 108963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772304534912109 × 217)
    floor (0.772304534912109 × 131072)
    floor (101227.5)     		ty = 101227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108963 / 101227 ti = "17/108963/101227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108963/101227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108963 ÷ 217
    108963 ÷ 131072     		x = 0.831321716308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101227 ÷ 217
    101227 ÷ 131072     		y = 0.772300720214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831321716308594 × 2 - 1) × π
    0.662643432617188 × 3.1415926535     		Λ = 2.08175574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772300720214844 × 2 - 1) × π
    -0.544601440429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.71091588433942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08175574} λ = 2.08175574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71091588433942))-π/2
    2×atan(0.180700216306076)-π/2
    2×0.178771096623654-π/2
    0.357542193247307-1.57079632675     		φ = -1.21325413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08175574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.275818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21325413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.514341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108963 KachelY 101227 2.08175574 -1.21325413 119.275818 -69.514341
    Oben rechts KachelX + 1 108964 KachelY 101227 2.08180368 -1.21325413 119.278565 -69.514341
    Unten links KachelX 108963 KachelY + 1 101228 2.08175574 -1.21327091 119.275818 -69.515303
    Unten rechts KachelX + 1 108964 KachelY + 1 101228 2.08180368 -1.21327091 119.278565 -69.515303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21325413--1.21327091) × R
    1.67800000001606e-05 × 6371000     		dl = 106.905380001023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21325413--1.21327091) × R
    1.67800000001606e-05 × 6371000     		dr = 106.905380001023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08175574-2.08180368) × cos(-1.21325413) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349972921370139 × 6371000     		do = 106.890738489367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08175574-2.08180368) × cos(-1.21327091) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349957202491144 × 6371000     		du = 106.885937539117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21325413)-sin(-1.21327091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349972921370139-0.349957202491144)×R²
    abs(2.08180368-2.08175574)×1.57188789953744e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57188789953744e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57188789953744e-05×40589641000000     		ar = 11426.9383933659m²