Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108961 / 100585
↖ ↑ ↗
← S 68.888263°
E119.270325°		 ← 109.99 m → S 68.888263°
E119.273071°		 →
↑
110.03 m
↓
↑
110.03 m
↓
S 68.889252°
E119.270325°		 ← 109.98 m →
12 101 m²		 S 68.889252°
E119.273071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831310272216797 y=0.767406463623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831310272216797 × 217)
    floor (0.831310272216797 × 131072)
    floor (108961.5)     		tx = 108961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767406463623047 × 217)
    floor (0.767406463623047 × 131072)
    floor (100585.5)     		ty = 100585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108961 / 100585 ti = "17/108961/100585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108961/100585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108961 ÷ 217
    108961 ÷ 131072     		x = 0.831306457519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100585 ÷ 217
    100585 ÷ 131072     		y = 0.767402648925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831306457519531 × 2 - 1) × π
    0.662612915039062 × 3.1415926535     		Λ = 2.08165987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767402648925781 × 2 - 1) × π
    -0.534805297851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.68014039478335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08165987} λ = 2.08165987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68014039478335))-π/2
    2×atan(0.186347811942117)-π/2
    2×0.184234660971399-π/2
    0.368469321942798-1.57079632675     		φ = -1.20232700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08165987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.270325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20232700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.888263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108961 KachelY 100585 2.08165987 -1.20232700 119.270325 -68.888263
    Oben rechts KachelX + 1 108962 KachelY 100585 2.08170780 -1.20232700 119.273071 -68.888263
    Unten links KachelX 108961 KachelY + 1 100586 2.08165987 -1.20234427 119.270325 -68.889252
    Unten rechts KachelX + 1 108962 KachelY + 1 100586 2.08170780 -1.20234427 119.273071 -68.889252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20232700--1.20234427) × R
    1.72700000000692e-05 × 6371000     		dl = 110.027170000441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20232700--1.20234427) × R
    1.72700000000692e-05 × 6371000     		dr = 110.027170000441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08165987-2.08170780) × cos(-1.20232700) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.360187920410679 × 6371000     		do = 109.987714558151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08165987-2.08170780) × cos(-1.20234427) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.360171809523369 × 6371000     		du = 109.982794904897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20232700)-sin(-1.20234427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360187920410679-0.360171809523369)×R²
    abs(2.08170780-2.08165987)×1.61108873102944e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61108873102944e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61108873102944e-05×40589641000000     		ar = 12101.3663200083m²