Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108958 / 101224
↖ ↑ ↗
← S 69.511457°
E119.262085°		 ← 106.88 m → S 69.511457°
E119.264831°		 →
↑
106.91 m
↓
↑
106.91 m
↓
S 69.512419°
E119.262085°		 ← 106.88 m →
11 426 m²		 S 69.512419°
E119.264831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831287384033203 y=0.772281646728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831287384033203 × 217)
    floor (0.831287384033203 × 131072)
    floor (108958.5)     		tx = 108958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772281646728516 × 217)
    floor (0.772281646728516 × 131072)
    floor (101224.5)     		ty = 101224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108958 / 101224 ti = "17/108958/101224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108958/101224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108958 ÷ 217
    108958 ÷ 131072     		x = 0.831283569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101224 ÷ 217
    101224 ÷ 131072     		y = 0.77227783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831283569335938 × 2 - 1) × π
    0.662567138671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.08151606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77227783203125 × 2 - 1) × π
    -0.5445556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71077207364056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08151606} λ = 2.08151606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71077207364056))-π/2
    2×atan(0.180726204799134)-π/2
    2×0.178796263243742-π/2
    0.357592526487485-1.57079632675     		φ = -1.21320380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08151606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.262085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21320380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.511457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108958 KachelY 101224 2.08151606 -1.21320380 119.262085 -69.511457
    Oben rechts KachelX + 1 108959 KachelY 101224 2.08156399 -1.21320380 119.264831 -69.511457
    Unten links KachelX 108958 KachelY + 1 101225 2.08151606 -1.21322058 119.262085 -69.512419
    Unten rechts KachelX + 1 108959 KachelY + 1 101225 2.08156399 -1.21322058 119.264831 -69.512419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21320380--1.21322058) × R
    1.67799999999385e-05 × 6371000     		dl = 106.905379999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21320380--1.21322058) × R
    1.67799999999385e-05 × 6371000     		dr = 106.905379999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08151606-2.08156399) × cos(-1.21320380) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.350020068048437 × 6371000     		do = 106.882838520074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08151606-2.08156399) × cos(-1.21322058) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.350004349465021 × 6371000     		du = 106.878038661534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21320380)-sin(-1.21322058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350020068048437-0.350004349465021)×R²
    abs(2.08156399-2.08151606)×1.57185834167017e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57185834167017e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57185834167017e-05×40589641000000     		ar = 11426.0939022471m²