Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108958 / 101211
↖ ↑ ↗
← S 69.498956°
E119.262085°		 ← 106.95 m → S 69.498956°
E119.264831°		 →
↑
106.97 m
↓
↑
106.97 m
↓
S 69.499918°
E119.262085°		 ← 106.94 m →
11 440 m²		 S 69.499918°
E119.264831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831287384033203 y=0.772182464599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831287384033203 × 217)
    floor (0.831287384033203 × 131072)
    floor (108958.5)     		tx = 108958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772182464599609 × 217)
    floor (0.772182464599609 × 131072)
    floor (101211.5)     		ty = 101211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108958 / 101211 ti = "17/108958/101211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108958/101211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108958 ÷ 217
    108958 ÷ 131072     		x = 0.831283569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101211 ÷ 217
    101211 ÷ 131072     		y = 0.772178649902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831283569335938 × 2 - 1) × π
    0.662567138671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.08151606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772178649902344 × 2 - 1) × π
    -0.544357299804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.7101488939455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08151606} λ = 2.08151606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7101488939455))-π/2
    2×atan(0.180838864800397)-π/2
    2×0.178905357781769-π/2
    0.357810715563538-1.57079632675     		φ = -1.21298561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08151606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.262085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21298561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.498956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108958 KachelY 101211 2.08151606 -1.21298561 119.262085 -69.498956
    Oben rechts KachelX + 1 108959 KachelY 101211 2.08156399 -1.21298561 119.264831 -69.498956
    Unten links KachelX 108958 KachelY + 1 101212 2.08151606 -1.21300240 119.262085 -69.499918
    Unten rechts KachelX + 1 108959 KachelY + 1 101212 2.08156399 -1.21300240 119.264831 -69.499918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21298561--1.21300240) × R
    1.67899999998777e-05 × 6371000     		dl = 106.969089999221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21298561--1.21300240) × R
    1.67899999998777e-05 × 6371000     		dr = 106.969089999221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08151606-2.08156399) × cos(-1.21298561) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.350224447496068 × 6371000     		do = 106.945248243093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08151606-2.08156399) × cos(-1.21300240) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.350208720827783 × 6371000     		du = 106.94044591574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21298561)-sin(-1.21300240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350224447496068-0.350208720827783)×R²
    abs(2.08156399-2.08151606)×1.57266682848101e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57266682848101e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57266682848101e-05×40589641000000     		ar = 11439.5790343298m²