Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108952 / 101256
↖ ↑ ↗
← S 69.542199°
E119.245605°		 ← 106.75 m → S 69.542199°
E119.248352°		 →
↑
106.71 m
↓
↑
106.71 m
↓
S 69.543159°
E119.245605°		 ← 106.75 m →
11 392 m²		 S 69.543159°
E119.248352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831241607666016 y=0.772525787353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831241607666016 × 217)
    floor (0.831241607666016 × 131072)
    floor (108952.5)     		tx = 108952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772525787353516 × 217)
    floor (0.772525787353516 × 131072)
    floor (101256.5)     		ty = 101256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108952 / 101256 ti = "17/108952/101256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108952/101256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108952 ÷ 217
    108952 ÷ 131072     		x = 0.83123779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101256 ÷ 217
    101256 ÷ 131072     		y = 0.77252197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83123779296875 × 2 - 1) × π
    0.6624755859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.08122843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77252197265625 × 2 - 1) × π
    -0.5450439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71230605442841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08122843} λ = 2.08122843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71230605442841))-π/2
    2×atan(0.18044918679758)-π/2
    2×0.178527994017136-π/2
    0.357055988034273-1.57079632675     		φ = -1.21374034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08122843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.245605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21374034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.542199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108952 KachelY 101256 2.08122843 -1.21374034 119.245605 -69.542199
    Oben rechts KachelX + 1 108953 KachelY 101256 2.08127637 -1.21374034 119.248352 -69.542199
    Unten links KachelX 108952 KachelY + 1 101257 2.08122843 -1.21375709 119.245605 -69.543159
    Unten rechts KachelX + 1 108953 KachelY + 1 101257 2.08127637 -1.21375709 119.248352 -69.543159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21374034--1.21375709) × R
    1.67500000001208e-05 × 6371000     		dl = 106.71425000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21374034--1.21375709) × R
    1.67500000001208e-05 × 6371000     		dr = 106.71425000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08122843-2.08127637) × cos(-1.21374034) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349517418030748 × 6371000     		do = 106.75161604486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08122843-2.08127637) × cos(-1.21375709) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349501724406456 × 6371000     		du = 106.746822808048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21374034)-sin(-1.21375709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349517418030748-0.349501724406456)×R²
    abs(2.08127637-2.08122843)×1.56936242917682e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56936242917682e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56936242917682e-05×40589641000000     		ar = 11391.6628894961m²