Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108950 / 101274
↖ ↑ ↗
← S 69.559471°
E119.240112°		 ← 106.67 m → S 69.559471°
E119.242859°		 →
↑
106.65 m
↓
↑
106.65 m
↓
S 69.560430°
E119.240112°		 ← 106.66 m →
11 376 m²		 S 69.560430°
E119.242859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831226348876953 y=0.772663116455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831226348876953 × 217)
    floor (0.831226348876953 × 131072)
    floor (108950.5)     		tx = 108950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772663116455078 × 217)
    floor (0.772663116455078 × 131072)
    floor (101274.5)     		ty = 101274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108950 / 101274 ti = "17/108950/101274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108950/101274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108950 ÷ 217
    108950 ÷ 131072     		x = 0.831222534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101274 ÷ 217
    101274 ÷ 131072     		y = 0.772659301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831222534179688 × 2 - 1) × π
    0.662445068359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.08113256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772659301757812 × 2 - 1) × π
    -0.545318603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71316891862157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08113256} λ = 2.08113256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71316891862157))-π/2
    2×atan(0.180293550811623)-π/2
    2×0.178377261923847-π/2
    0.356754523847695-1.57079632675     		φ = -1.21404180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08113256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.240112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21404180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.559471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108950 KachelY 101274 2.08113256 -1.21404180 119.240112 -69.559471
    Oben rechts KachelX + 1 108951 KachelY 101274 2.08118050 -1.21404180 119.242859 -69.559471
    Unten links KachelX 108950 KachelY + 1 101275 2.08113256 -1.21405854 119.240112 -69.560430
    Unten rechts KachelX + 1 108951 KachelY + 1 101275 2.08118050 -1.21405854 119.242859 -69.560430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21404180--1.21405854) × R
    1.67399999999596e-05 × 6371000     		dl = 106.650539999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21404180--1.21405854) × R
    1.67399999999596e-05 × 6371000     		dr = 106.650539999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08113256-2.08118050) × cos(-1.21404180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349234955275765 × 6371000     		do = 106.665344648898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08113256-2.08118050) × cos(-1.21405854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349219269257764 × 6371000     		du = 106.660553735242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21404180)-sin(-1.21405854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349234955275765-0.349219269257764)×R²
    abs(2.08118050-2.08113256)×1.56860180010043e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56860180010043e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56860180010043e-05×40589641000000     		ar = 11375.6611296146m²