Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108949 / 101278
↖ ↑ ↗
← S 69.563308°
E119.237366°		 ← 106.65 m → S 69.563308°
E119.240112°		 →
↑
106.65 m
↓
↑
106.65 m
↓
S 69.564267°
E119.237366°		 ← 106.64 m →
11 374 m²		 S 69.564267°
E119.240112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831218719482422 y=0.772693634033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831218719482422 × 217)
    floor (0.831218719482422 × 131072)
    floor (108949.5)     		tx = 108949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772693634033203 × 217)
    floor (0.772693634033203 × 131072)
    floor (101278.5)     		ty = 101278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108949 / 101278 ti = "17/108949/101278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108949/101278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108949 ÷ 217
    108949 ÷ 131072     		x = 0.831214904785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101278 ÷ 217
    101278 ÷ 131072     		y = 0.772689819335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831214904785156 × 2 - 1) × π
    0.662429809570312 × 3.1415926535     		Λ = 2.08108462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772689819335938 × 2 - 1) × π
    -0.545379638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71336066622005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08108462} λ = 2.08108462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71336066622005))-π/2
    2×atan(0.180258983270461)-π/2
    2×0.178343782449937-π/2
    0.356687564899874-1.57079632675     		φ = -1.21410876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08108462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.237366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21410876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.563308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108949 KachelY 101278 2.08108462 -1.21410876 119.237366 -69.563308
    Oben rechts KachelX + 1 108950 KachelY 101278 2.08113256 -1.21410876 119.240112 -69.563308
    Unten links KachelX 108949 KachelY + 1 101279 2.08108462 -1.21412550 119.237366 -69.564267
    Unten rechts KachelX + 1 108950 KachelY + 1 101279 2.08113256 -1.21412550 119.240112 -69.564267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21410876--1.21412550) × R
    1.67399999999596e-05 × 6371000     		dl = 106.650539999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21410876--1.21412550) × R
    1.67399999999596e-05 × 6371000     		dr = 106.650539999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08108462-2.08113256) × cos(-1.21410876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349172210616614 × 6371000     		do = 106.646180814945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08108462-2.08113256) × cos(-1.21412550) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349156524207195 × 6371000     		du = 106.641389781741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21410876)-sin(-1.21412550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349172210616614-0.349156524207195)×R²
    abs(2.08113256-2.08108462)×1.56864094181253e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56864094181253e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56864094181253e-05×40589641000000     		ar = 11373.6172899056m²