Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108949 / 101250
↖ ↑ ↗
← S 69.536438°
E119.237366°		 ← 106.78 m → S 69.536438°
E119.240112°		 →
↑
106.78 m
↓
↑
106.78 m
↓
S 69.537399°
E119.237366°		 ← 106.78 m →
11 402 m²		 S 69.537399°
E119.240112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831218719482422 y=0.772480010986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831218719482422 × 217)
    floor (0.831218719482422 × 131072)
    floor (108949.5)     		tx = 108949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772480010986328 × 217)
    floor (0.772480010986328 × 131072)
    floor (101250.5)     		ty = 101250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108949 / 101250 ti = "17/108949/101250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108949/101250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108949 ÷ 217
    108949 ÷ 131072     		x = 0.831214904785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101250 ÷ 217
    101250 ÷ 131072     		y = 0.772476196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831214904785156 × 2 - 1) × π
    0.662429809570312 × 3.1415926535     		Λ = 2.08108462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772476196289062 × 2 - 1) × π
    -0.544952392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71201843303069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08108462} λ = 2.08108462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71201843303069))-π/2
    2×atan(0.180501095309545)-π/2
    2×0.178578265134623-π/2
    0.357156530269245-1.57079632675     		φ = -1.21363980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08108462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.237366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21363980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.536438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108949 KachelY 101250 2.08108462 -1.21363980 119.237366 -69.536438
    Oben rechts KachelX + 1 108950 KachelY 101250 2.08113256 -1.21363980 119.240112 -69.536438
    Unten links KachelX 108949 KachelY + 1 101251 2.08108462 -1.21365656 119.237366 -69.537399
    Unten rechts KachelX + 1 108950 KachelY + 1 101251 2.08113256 -1.21365656 119.240112 -69.537399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21363980--1.21365656) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dl = 106.777960000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21363980--1.21365656) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dr = 106.777960000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08108462-2.08113256) × cos(-1.21363980) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349611615192842 × 6371000     		do = 106.780386282799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08108462-2.08113256) × cos(-1.21365656) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349595912788213 × 6371000     		du = 106.775590364245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21363980)-sin(-1.21365656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349611615192842-0.349595912788213)×R²
    abs(2.08113256-2.08108462)×1.57024046283372e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57024046283372e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57024046283372e-05×40589641000000     		ar = 11401.5357663057m²