Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108947 / 101285
S 69.570020°
E119.231873°
← 106.61 m → S 69.570020°
E119.234619°

106.59 m

106.59 m
S 69.570979°
E119.231873°
← 106.61 m →
11 363 m²
S 69.570979°
E119.234619°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831203460693359 y=0.772747039794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831203460693359 × 217)
    floor (0.831203460693359 × 131072)
    floor (108947.5)
    tx = 108947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772747039794922 × 217)
    floor (0.772747039794922 × 131072)
    floor (101285.5)
    ty = 101285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108947 / 101285 ti = "17/108947/101285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108947/101285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108947 ÷ 217
    108947 ÷ 131072
    x = 0.831199645996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101285 ÷ 217
    101285 ÷ 131072
    y = 0.772743225097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.831199645996094 × 2 - 1) × π
    0.662399291992188 × 3.1415926535
    Λ = 2.08098875
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.772743225097656 × 2 - 1) × π
    -0.545486450195312 × 3.1415926535
    Φ = -1.71369622451739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08098875} λ = 2.08098875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71369622451739))-π/2
    2×atan(0.180198506020343)-π/2
    2×0.17828520784365-π/2
    0.356570415687299-1.57079632675
    φ = -1.21422591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08098875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.231873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21422591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.570020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108947 KachelY 101285 2.08098875 -1.21422591 119.231873 -69.570020
    Oben rechts KachelX + 1 108948 KachelY 101285 2.08103669 -1.21422591 119.234619 -69.570020
    Unten links KachelX 108947 KachelY + 1 101286 2.08098875 -1.21424264 119.231873 -69.570979
    Unten rechts KachelX + 1 108948 KachelY + 1 101286 2.08103669 -1.21424264 119.234619 -69.570979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.21422591--1.21424264) × R
    1.67300000000203e-05 × 6371000
    dl = 106.58683000013m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.21422591--1.21424264) × R
    1.67300000000203e-05 × 6371000
    dr = 106.58683000013m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(2.08098875-2.08103669) × cos(-1.21422591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349062431809115 × 6371000
    do = 106.612651541429m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(2.08098875-2.08103669) × cos(-1.21424264) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349046754086115 × 6371000
    du = 106.60786316128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.21422591)-sin(-1.21424264))×
    abs(λ12)×abs(0.349062431809115-0.349046754086115)×
    abs(2.08103669-2.08098875)×1.56777230004845e-05×
    4.79399999999686e-05×1.56777230004845e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56777230004845e-05×40589641000000
    ar = 11363.2493767608m²