Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108947 / 101276
↖ ↑ ↗
← S 69.561390°
E119.231873°		 ← 106.66 m → S 69.561390°
E119.234619°		 →
↑
106.65 m
↓
↑
106.65 m
↓
S 69.562349°
E119.231873°		 ← 106.65 m →
11 375 m²		 S 69.562349°
E119.234619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831203460693359 y=0.772678375244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831203460693359 × 217)
    floor (0.831203460693359 × 131072)
    floor (108947.5)     		tx = 108947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772678375244141 × 217)
    floor (0.772678375244141 × 131072)
    floor (101276.5)     		ty = 101276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108947 / 101276 ti = "17/108947/101276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108947/101276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108947 ÷ 217
    108947 ÷ 131072     		x = 0.831199645996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101276 ÷ 217
    101276 ÷ 131072     		y = 0.772674560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831199645996094 × 2 - 1) × π
    0.662399291992188 × 3.1415926535     		Λ = 2.08098875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772674560546875 × 2 - 1) × π
    -0.54534912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71326479242081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08098875} λ = 2.08098875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71326479242081))-π/2
    2×atan(0.180276266212512)-π/2
    2×0.178360521434958-π/2
    0.356721042869916-1.57079632675     		φ = -1.21407528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08098875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.231873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21407528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.561390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108947 KachelY 101276 2.08098875 -1.21407528 119.231873 -69.561390
    Oben rechts KachelX + 1 108948 KachelY 101276 2.08103669 -1.21407528 119.234619 -69.561390
    Unten links KachelX 108947 KachelY + 1 101277 2.08098875 -1.21409202 119.231873 -69.562349
    Unten rechts KachelX + 1 108948 KachelY + 1 101277 2.08103669 -1.21409202 119.234619 -69.562349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21407528--1.21409202) × R
    1.67399999999596e-05 × 6371000     		dl = 106.650539999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21407528--1.21409202) × R
    1.67399999999596e-05 × 6371000     		dr = 106.650539999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08098875-2.08103669) × cos(-1.21407528) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349203583141902 × 6371000     		do = 106.655762791697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08098875-2.08103669) × cos(-1.21409202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349187896928184 × 6371000     		du = 106.650971818264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21407528)-sin(-1.21409202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349203583141902-0.349187896928184)×R²
    abs(2.08103669-2.08098875)×1.56862137183356e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56862137183356e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56862137183356e-05×40589641000000     		ar = 11374.6392160251m²