Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108946 / 101270
↖ ↑ ↗
← S 69.555634°
E119.229126°		 ← 106.68 m → S 69.555634°
E119.231873°		 →
↑
106.71 m
↓
↑
106.71 m
↓
S 69.556594°
E119.229126°		 ← 106.68 m →
11 385 m²		 S 69.556594°
E119.231873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831195831298828 y=0.772632598876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831195831298828 × 217)
    floor (0.831195831298828 × 131072)
    floor (108946.5)     		tx = 108946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772632598876953 × 217)
    floor (0.772632598876953 × 131072)
    floor (101270.5)     		ty = 101270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108946 / 101270 ti = "17/108946/101270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108946/101270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108946 ÷ 217
    108946 ÷ 131072     		x = 0.831192016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101270 ÷ 217
    101270 ÷ 131072     		y = 0.772628784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831192016601562 × 2 - 1) × π
    0.662384033203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.08094081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772628784179688 × 2 - 1) × π
    -0.545257568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71297717102309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08094081} λ = 2.08094081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71297717102309))-π/2
    2×atan(0.180328124981664)-π/2
    2×0.178410747413697-π/2
    0.356821494827395-1.57079632675     		φ = -1.21397483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08094081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.229126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21397483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.555634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108946 KachelY 101270 2.08094081 -1.21397483 119.229126 -69.555634
    Oben rechts KachelX + 1 108947 KachelY 101270 2.08098875 -1.21397483 119.231873 -69.555634
    Unten links KachelX 108946 KachelY + 1 101271 2.08094081 -1.21399158 119.229126 -69.556594
    Unten rechts KachelX + 1 108947 KachelY + 1 101271 2.08098875 -1.21399158 119.231873 -69.556594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21397483--1.21399158) × R
    1.67500000001208e-05 × 6371000     		dl = 106.71425000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21397483--1.21399158) × R
    1.67500000001208e-05 × 6371000     		dr = 106.71425000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08094081-2.08098875) × cos(-1.21397483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349297707739191 × 6371000     		do = 106.684510866476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08094081-2.08098875) × cos(-1.21399158) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349282012742559 × 6371000     		du = 106.679717210516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21397483)-sin(-1.21399158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349297707739191-0.349282012742559)×R²
    abs(2.08098875-2.08094081)×1.56949966316766e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56949966316766e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56949966316766e-05×40589641000000     		ar = 11384.5017884126m²