Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108945 / 101260
↖ ↑ ↗
← S 69.546038°
E119.226380°		 ← 106.71 m → S 69.546038°
E119.229126°		 →
↑
106.71 m
↓
↑
106.71 m
↓
S 69.546998°
E119.226380°		 ← 106.71 m →
11 387 m²		 S 69.546998°
E119.229126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831188201904297 y=0.772556304931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831188201904297 × 217)
    floor (0.831188201904297 × 131072)
    floor (108945.5)     		tx = 108945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772556304931641 × 217)
    floor (0.772556304931641 × 131072)
    floor (101260.5)     		ty = 101260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108945 / 101260 ti = "17/108945/101260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108945/101260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108945 ÷ 217
    108945 ÷ 131072     		x = 0.831184387207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101260 ÷ 217
    101260 ÷ 131072     		y = 0.772552490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831184387207031 × 2 - 1) × π
    0.662368774414062 × 3.1415926535     		Λ = 2.08089288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772552490234375 × 2 - 1) × π
    -0.54510498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71249780202689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08089288} λ = 2.08089288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71249780202689))-π/2
    2×atan(0.180414589416452)-π/2
    2×0.178494487464167-π/2
    0.356988974928334-1.57079632675     		φ = -1.21380735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08089288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.226380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21380735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.546038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108945 KachelY 101260 2.08089288 -1.21380735 119.226380 -69.546038
    Oben rechts KachelX + 1 108946 KachelY 101260 2.08094081 -1.21380735 119.229126 -69.546038
    Unten links KachelX 108945 KachelY + 1 101261 2.08089288 -1.21382410 119.226380 -69.546998
    Unten rechts KachelX + 1 108946 KachelY + 1 101261 2.08094081 -1.21382410 119.229126 -69.546998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21380735--1.21382410) × R
    1.67500000001208e-05 × 6371000     		dl = 106.71425000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21380735--1.21382410) × R
    1.67500000001208e-05 × 6371000     		dr = 106.71425000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08089288-2.08094081) × cos(-1.21380735) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349454633575723 × 6371000     		do = 106.710176301654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08089288-2.08094081) × cos(-1.21382410) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349438939559171 × 6371000     		du = 106.705383944901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21380735)-sin(-1.21382410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349454633575723-0.349438939559171)×R²
    abs(2.08094081-2.08089288)×1.56940165522146e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56940165522146e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56940165522146e-05×40589641000000     		ar = 11387.2407253817m²