Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108945 / 101233
↖ ↑ ↗
← S 69.520108°
E119.226380°		 ← 106.84 m → S 69.520108°
E119.229126°		 →
↑
106.84 m
↓
↑
106.84 m
↓
S 69.521069°
E119.226380°		 ← 106.83 m →
11 415 m²		 S 69.521069°
E119.229126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831188201904297 y=0.772350311279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831188201904297 × 217)
    floor (0.831188201904297 × 131072)
    floor (108945.5)     		tx = 108945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772350311279297 × 217)
    floor (0.772350311279297 × 131072)
    floor (101233.5)     		ty = 101233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108945 / 101233 ti = "17/108945/101233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108945/101233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108945 ÷ 217
    108945 ÷ 131072     		x = 0.831184387207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101233 ÷ 217
    101233 ÷ 131072     		y = 0.772346496582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831184387207031 × 2 - 1) × π
    0.662368774414062 × 3.1415926535     		Λ = 2.08089288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772346496582031 × 2 - 1) × π
    -0.544692993164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.71120350573714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08089288} λ = 2.08089288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71120350573714))-π/2
    2×atan(0.180648250530886)-π/2
    2×0.178720773553443-π/2
    0.357441547106887-1.57079632675     		φ = -1.21335478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08089288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.226380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21335478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.520108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108945 KachelY 101233 2.08089288 -1.21335478 119.226380 -69.520108
    Oben rechts KachelX + 1 108946 KachelY 101233 2.08094081 -1.21335478 119.229126 -69.520108
    Unten links KachelX 108945 KachelY + 1 101234 2.08089288 -1.21337155 119.226380 -69.521069
    Unten rechts KachelX + 1 108946 KachelY + 1 101234 2.08094081 -1.21337155 119.229126 -69.521069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21335478--1.21337155) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dl = 106.841669999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21335478--1.21337155) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dr = 106.841669999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08089288-2.08094081) × cos(-1.21335478) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349878634722054 × 6371000     		do = 106.83965015242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08089288-2.08094081) × cos(-1.21337155) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349862924620089 × 6371000     		du = 106.834852883793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21335478)-sin(-1.21337155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349878634722054-0.349862924620089)×R²
    abs(2.08094081-2.08089288)×1.57101019650496e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57101019650496e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57101019650496e-05×40589641000000     		ar = 11414.6703707301m²