Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108944 / 101262
↖ ↑ ↗
← S 69.547958°
E119.223633°		 ← 106.72 m → S 69.547958°
E119.226380°		 →
↑
106.71 m
↓
↑
106.71 m
↓
S 69.548917°
E119.223633°		 ← 106.72 m →
11 389 m²		 S 69.548917°
E119.226380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831180572509766 y=0.772571563720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831180572509766 × 217)
    floor (0.831180572509766 × 131072)
    floor (108944.5)     		tx = 108944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772571563720703 × 217)
    floor (0.772571563720703 × 131072)
    floor (101262.5)     		ty = 101262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108944 / 101262 ti = "17/108944/101262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108944/101262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108944 ÷ 217
    108944 ÷ 131072     		x = 0.8311767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101262 ÷ 217
    101262 ÷ 131072     		y = 0.772567749023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8311767578125 × 2 - 1) × π
    0.662353515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.08084494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772567749023438 × 2 - 1) × π
    -0.545135498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71259367582613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08084494} λ = 2.08084494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71259367582613))-π/2
    2×atan(0.180397293213466)-π/2
    2×0.17847773644494-π/2
    0.356955472889879-1.57079632675     		φ = -1.21384085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08084494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.223633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21384085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.547958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108944 KachelY 101262 2.08084494 -1.21384085 119.223633 -69.547958
    Oben rechts KachelX + 1 108945 KachelY 101262 2.08089288 -1.21384085 119.226380 -69.547958
    Unten links KachelX 108944 KachelY + 1 101263 2.08084494 -1.21385760 119.223633 -69.548917
    Unten rechts KachelX + 1 108945 KachelY + 1 101263 2.08089288 -1.21385760 119.226380 -69.548917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21384085--1.21385760) × R
    1.67500000001208e-05 × 6371000     		dl = 106.71425000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21384085--1.21385760) × R
    1.67500000001208e-05 × 6371000     		dr = 106.71425000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08084494-2.08089288) × cos(-1.21384085) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349423245444579 × 6371000     		do = 106.722853313042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08084494-2.08089288) × cos(-1.21385760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349407551231953 × 6371000     		du = 106.718059896537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21384085)-sin(-1.21385760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349423245444579-0.349407551231953)×R²
    abs(2.08089288-2.08084494)×1.56942126267046e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56942126267046e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56942126267046e-05×40589641000000     		ar = 11388.5934865077m²