Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108944 / 101232
↖ ↑ ↗
← S 69.519147°
E119.223633°		 ← 106.87 m → S 69.519147°
E119.226380°		 →
↑
106.84 m
↓
↑
106.84 m
↓
S 69.520108°
E119.223633°		 ← 106.86 m →
11 418 m²		 S 69.520108°
E119.226380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831180572509766 y=0.772342681884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831180572509766 × 217)
    floor (0.831180572509766 × 131072)
    floor (108944.5)     		tx = 108944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772342681884766 × 217)
    floor (0.772342681884766 × 131072)
    floor (101232.5)     		ty = 101232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108944 / 101232 ti = "17/108944/101232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108944/101232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108944 ÷ 217
    108944 ÷ 131072     		x = 0.8311767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101232 ÷ 217
    101232 ÷ 131072     		y = 0.7723388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8311767578125 × 2 - 1) × π
    0.662353515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.08084494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7723388671875 × 2 - 1) × π
    -0.544677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71115556883752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08084494} λ = 2.08084494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71115556883752))-π/2
    2×atan(0.180656910455502)-π/2
    2×0.178729159790245-π/2
    0.35745831958049-1.57079632675     		φ = -1.21333801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08084494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.223633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21333801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.519147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108944 KachelY 101232 2.08084494 -1.21333801 119.223633 -69.519147
    Oben rechts KachelX + 1 108945 KachelY 101232 2.08089288 -1.21333801 119.226380 -69.519147
    Unten links KachelX 108944 KachelY + 1 101233 2.08084494 -1.21335478 119.223633 -69.520108
    Unten rechts KachelX + 1 108945 KachelY + 1 101233 2.08089288 -1.21335478 119.226380 -69.520108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21333801--1.21335478) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dl = 106.841669999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21333801--1.21335478) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dr = 106.841669999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08084494-2.08089288) × cos(-1.21333801) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349894344725622 × 6371000     		do = 106.866739159568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08084494-2.08089288) × cos(-1.21335478) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349878634722054 × 6371000     		du = 106.861940920103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21333801)-sin(-1.21335478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349894344725622-0.349878634722054)×R²
    abs(2.08089288-2.08084494)×1.57100035675928e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57100035675928e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57100035675928e-05×40589641000000     		ar = 11417.5645536377m²