Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108943 / 101265
↖ ↑ ↗
← S 69.550837°
E119.220886°		 ← 106.71 m → S 69.550837°
E119.223633°		 →
↑
106.71 m
↓
↑
106.71 m
↓
S 69.551797°
E119.220886°		 ← 106.70 m →
11 387 m²		 S 69.551797°
E119.223633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831172943115234 y=0.772594451904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831172943115234 × 217)
    floor (0.831172943115234 × 131072)
    floor (108943.5)     		tx = 108943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772594451904297 × 217)
    floor (0.772594451904297 × 131072)
    floor (101265.5)     		ty = 101265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108943 / 101265 ti = "17/108943/101265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108943/101265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108943 ÷ 217
    108943 ÷ 131072     		x = 0.831169128417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101265 ÷ 217
    101265 ÷ 131072     		y = 0.772590637207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831169128417969 × 2 - 1) × π
    0.662338256835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.08079700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772590637207031 × 2 - 1) × π
    -0.545181274414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.71273748652499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08079700} λ = 2.08079700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71273748652499))-π/2
    2×atan(0.180371352018012)-π/2
    2×0.178452612737343-π/2
    0.356905225474686-1.57079632675     		φ = -1.21389110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08079700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.220886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21389110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.550837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108943 KachelY 101265 2.08079700 -1.21389110 119.220886 -69.550837
    Oben rechts KachelX + 1 108944 KachelY 101265 2.08084494 -1.21389110 119.223633 -69.550837
    Unten links KachelX 108943 KachelY + 1 101266 2.08079700 -1.21390785 119.220886 -69.551797
    Unten rechts KachelX + 1 108944 KachelY + 1 101266 2.08084494 -1.21390785 119.223633 -69.551797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21389110--1.21390785) × R
    1.67500000001208e-05 × 6371000     		dl = 106.71425000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21389110--1.21390785) × R
    1.67500000001208e-05 × 6371000     		dr = 106.71425000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08079700-2.08084494) × cos(-1.21389110) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349376162512612 × 6371000     		do = 106.708472973705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08079700-2.08084494) × cos(-1.21390785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349360468005907 × 6371000     		du = 106.70367946738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21389110)-sin(-1.21390785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349376162512612-0.349360468005907)×R²
    abs(2.08084494-2.08079700)×1.56945067054659e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56945067054659e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56945067054659e-05×40589641000000     		ar = 11387.0588947592m²