Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108942 / 101258
↖ ↑ ↗
← S 69.544119°
E119.218139°		 ← 106.74 m → S 69.544119°
E119.220886°		 →
↑
106.71 m
↓
↑
106.71 m
↓
S 69.545079°
E119.218139°		 ← 106.74 m →
11 391 m²		 S 69.545079°
E119.220886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831165313720703 y=0.772541046142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831165313720703 × 217)
    floor (0.831165313720703 × 131072)
    floor (108942.5)     		tx = 108942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772541046142578 × 217)
    floor (0.772541046142578 × 131072)
    floor (101258.5)     		ty = 101258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108942 / 101258 ti = "17/108942/101258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108942/101258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108942 ÷ 217
    108942 ÷ 131072     		x = 0.831161499023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101258 ÷ 217
    101258 ÷ 131072     		y = 0.772537231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831161499023438 × 2 - 1) × π
    0.662322998046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.08074906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772537231445312 × 2 - 1) × π
    -0.545074462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71240192822765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08074906} λ = 2.08074906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71240192822765))-π/2
    2×atan(0.18043188727777)-π/2
    2×0.178511239988194-π/2
    0.357022479976388-1.57079632675     		φ = -1.21377385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08074906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.218139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21377385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.544119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108942 KachelY 101258 2.08074906 -1.21377385 119.218139 -69.544119
    Oben rechts KachelX + 1 108943 KachelY 101258 2.08079700 -1.21377385 119.220886 -69.544119
    Unten links KachelX 108942 KachelY + 1 101259 2.08074906 -1.21379060 119.218139 -69.545079
    Unten rechts KachelX + 1 108943 KachelY + 1 101259 2.08079700 -1.21379060 119.220886 -69.545079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21377385--1.21379060) × R
    1.67500000001208e-05 × 6371000     		dl = 106.71425000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21377385--1.21379060) × R
    1.67500000001208e-05 × 6371000     		dr = 106.71425000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08074906-2.08079700) × cos(-1.21377385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349486021314691 × 6371000     		do = 106.742026679625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08074906-2.08079700) × cos(-1.21379060) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349470327494231 × 6371000     		du = 106.737233382898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21377385)-sin(-1.21379060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349486021314691-0.349470327494231)×R²
    abs(2.08079700-2.08074906)×1.56938204601276e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56938204601276e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56938204601276e-05×40589641000000     		ar = 11390.639564336m²