Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108941 / 101264
↖ ↑ ↗
← S 69.549877°
E119.215393°		 ← 106.69 m → S 69.549877°
E119.218139°		 →
↑
106.71 m
↓
↑
106.71 m
↓
S 69.550837°
E119.215393°		 ← 106.69 m →
11 385 m²		 S 69.550837°
E119.218139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831157684326172 y=0.772586822509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831157684326172 × 217)
    floor (0.831157684326172 × 131072)
    floor (108941.5)     		tx = 108941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772586822509766 × 217)
    floor (0.772586822509766 × 131072)
    floor (101264.5)     		ty = 101264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108941 / 101264 ti = "17/108941/101264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108941/101264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108941 ÷ 217
    108941 ÷ 131072     		x = 0.831153869628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101264 ÷ 217
    101264 ÷ 131072     		y = 0.7725830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831153869628906 × 2 - 1) × π
    0.662307739257812 × 3.1415926535     		Λ = 2.08070113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7725830078125 × 2 - 1) × π
    -0.545166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71268954962537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08070113} λ = 2.08070113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71268954962537))-π/2
    2×atan(0.180379998668653)-π/2
    2×0.178460986930395-π/2
    0.356921973860791-1.57079632675     		φ = -1.21387435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08070113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.215393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21387435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.549877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108941 KachelY 101264 2.08070113 -1.21387435 119.215393 -69.549877
    Oben rechts KachelX + 1 108942 KachelY 101264 2.08074906 -1.21387435 119.218139 -69.549877
    Unten links KachelX 108941 KachelY + 1 101265 2.08070113 -1.21389110 119.215393 -69.550837
    Unten rechts KachelX + 1 108942 KachelY + 1 101265 2.08074906 -1.21389110 119.218139 -69.550837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21387435--1.21389110) × R
    1.67499999998988e-05 × 6371000     		dl = 106.714249999355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21387435--1.21389110) × R
    1.67499999998988e-05 × 6371000     		dr = 106.714249999355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08070113-2.08074906) × cos(-1.21387435) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349391856921296 × 6371000     		do = 106.691006695022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08070113-2.08074906) × cos(-1.21389110) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349376162512612 × 6371000     		du = 106.686214218526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21387435)-sin(-1.21389110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349391856921296-0.349376162512612)×R²
    abs(2.08074906-2.08070113)×1.56944086834865e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56944086834865e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56944086834865e-05×40589641000000     		ar = 11385.1950486504m²