Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108936 / 101243
↖ ↑ ↗
← S 69.529715°
E119.201660°		 ← 106.81 m → S 69.529715°
E119.204407°		 →
↑
106.84 m
↓
↑
106.84 m
↓
S 69.530676°
E119.201660°		 ← 106.81 m →
11 412 m²		 S 69.530676°
E119.204407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831119537353516 y=0.772426605224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831119537353516 × 217)
    floor (0.831119537353516 × 131072)
    floor (108936.5)     		tx = 108936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772426605224609 × 217)
    floor (0.772426605224609 × 131072)
    floor (101243.5)     		ty = 101243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108936 / 101243 ti = "17/108936/101243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108936/101243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108936 ÷ 217
    108936 ÷ 131072     		x = 0.83111572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101243 ÷ 217
    101243 ÷ 131072     		y = 0.772422790527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83111572265625 × 2 - 1) × π
    0.6622314453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.08046144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772422790527344 × 2 - 1) × π
    -0.544845581054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.71168287473335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08046144} λ = 2.08046144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71168287473335))-π/2
    2×atan(0.180561674113047)-π/2
    2×0.178636931895624-π/2
    0.357273863791247-1.57079632675     		φ = -1.21352246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08046144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.201660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21352246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.529715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108936 KachelY 101243 2.08046144 -1.21352246 119.201660 -69.529715
    Oben rechts KachelX + 1 108937 KachelY 101243 2.08050938 -1.21352246 119.204407 -69.529715
    Unten links KachelX 108936 KachelY + 1 101244 2.08046144 -1.21353923 119.201660 -69.530676
    Unten rechts KachelX + 1 108937 KachelY + 1 101244 2.08050938 -1.21353923 119.204407 -69.530676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21352246--1.21353923) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dl = 106.841669999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21352246--1.21353923) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dr = 106.841669999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08046144-2.08050938) × cos(-1.21352246) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349721548012325 × 6371000     		do = 106.81396259554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08046144-2.08050938) × cos(-1.21353923) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349705836926746 × 6371000     		du = 106.809164025601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21352246)-sin(-1.21353923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349721548012325-0.349705836926746)×R²
    abs(2.08050938-2.08046144)×1.57110855785736e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57110855785736e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57110855785736e-05×40589641000000     		ar = 11411.9257996732m²