Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108935 / 101239
↖ ↑ ↗
← S 69.525873°
E119.198914°		 ← 106.81 m → S 69.525873°
E119.201660°		 →
↑
106.84 m
↓
↑
106.84 m
↓
S 69.526834°
E119.198914°		 ← 106.81 m →
11 412 m²		 S 69.526834°
E119.201660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831111907958984 y=0.772396087646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831111907958984 × 217)
    floor (0.831111907958984 × 131072)
    floor (108935.5)     		tx = 108935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772396087646484 × 217)
    floor (0.772396087646484 × 131072)
    floor (101239.5)     		ty = 101239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108935 / 101239 ti = "17/108935/101239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108935/101239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108935 ÷ 217
    108935 ÷ 131072     		x = 0.831108093261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101239 ÷ 217
    101239 ÷ 131072     		y = 0.772392272949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831108093261719 × 2 - 1) × π
    0.662216186523438 × 3.1415926535     		Λ = 2.08041351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772392272949219 × 2 - 1) × π
    -0.544784545898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.71149112713486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08041351} λ = 2.08041351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71149112713486))-π/2
    2×atan(0.180596299700016)-π/2
    2×0.17867046404057-π/2
    0.357340928081141-1.57079632675     		φ = -1.21345540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08041351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.198914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21345540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.525873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108935 KachelY 101239 2.08041351 -1.21345540 119.198914 -69.525873
    Oben rechts KachelX + 1 108936 KachelY 101239 2.08046144 -1.21345540 119.201660 -69.525873
    Unten links KachelX 108935 KachelY + 1 101240 2.08041351 -1.21347217 119.198914 -69.526834
    Unten rechts KachelX + 1 108936 KachelY + 1 101240 2.08046144 -1.21347217 119.201660 -69.526834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21345540--1.21347217) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dl = 106.841669999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21345540--1.21347217) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dr = 106.841669999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08041351-2.08046144) × cos(-1.21345540) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349784372634458 × 6371000     		do = 106.81086609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08041351-2.08046144) × cos(-1.21347217) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.349768661942202 × 6371000     		du = 106.80606864112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21345540)-sin(-1.21347217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349784372634458-0.349768661942202)×R²
    abs(2.08046144-2.08041351)×1.5710692256532e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5710692256532e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5710692256532e-05×40589641000000     		ar = 11411.5950237736m²