Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108931 / 101240
↖ ↑ ↗
← S 69.526834°
E119.187927°		 ← 106.83 m → S 69.526834°
E119.190674°		 →
↑
106.78 m
↓
↑
106.78 m
↓
S 69.527794°
E119.187927°		 ← 106.82 m →
11 407 m²		 S 69.527794°
E119.190674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831081390380859 y=0.772403717041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831081390380859 × 217)
    floor (0.831081390380859 × 131072)
    floor (108931.5)     		tx = 108931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772403717041016 × 217)
    floor (0.772403717041016 × 131072)
    floor (101240.5)     		ty = 101240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108931 / 101240 ti = "17/108931/101240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108931/101240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108931 ÷ 217
    108931 ÷ 131072     		x = 0.831077575683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101240 ÷ 217
    101240 ÷ 131072     		y = 0.77239990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831077575683594 × 2 - 1) × π
    0.662155151367188 × 3.1415926535     		Λ = 2.08022176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77239990234375 × 2 - 1) × π
    -0.5447998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71153906403448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08022176} λ = 2.08022176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71153906403448))-π/2
    2×atan(0.180587642680823)-π/2
    2×0.178662080439612-π/2
    0.357324160879224-1.57079632675     		φ = -1.21347217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08022176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.187927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21347217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.526834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108931 KachelY 101240 2.08022176 -1.21347217 119.187927 -69.526834
    Oben rechts KachelX + 1 108932 KachelY 101240 2.08026970 -1.21347217 119.190674 -69.526834
    Unten links KachelX 108931 KachelY + 1 101241 2.08022176 -1.21348893 119.187927 -69.527794
    Unten rechts KachelX + 1 108932 KachelY + 1 101241 2.08026970 -1.21348893 119.190674 -69.527794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21347217--1.21348893) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dl = 106.777960000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21347217--1.21348893) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dr = 106.777960000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08022176-2.08026970) × cos(-1.21347217) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349768661942202 × 6371000     		do = 106.828352402437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08022176-2.08026970) × cos(-1.21348893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349752960519998 × 6371000     		du = 106.823556783941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21347217)-sin(-1.21348893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349768661942202-0.349752960519998)×R²
    abs(2.08026970-2.08022176)×1.5701422203418e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5701422203418e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5701422203418e-05×40589641000000     		ar = 11406.6575067272m²