Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108912 / 42224
↖ ↑ ↗
← N 53.774689°
E119.135742°		 ← 180.46 m → N 53.774689°
E119.138488°		 →
↑
180.43 m
↓
↑
180.43 m
↓
N 53.773066°
E119.135742°		 ← 180.46 m →
32 560 m²		 N 53.773066°
E119.138488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830936431884766 y=0.322147369384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830936431884766 × 217)
    floor (0.830936431884766 × 131072)
    floor (108912.5)     		tx = 108912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322147369384766 × 217)
    floor (0.322147369384766 × 131072)
    floor (42224.5)     		ty = 42224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108912 / 42224 ti = "17/108912/42224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108912/42224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108912 ÷ 217
    108912 ÷ 131072     		x = 0.8309326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42224 ÷ 217
    42224 ÷ 131072     		y = 0.3221435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8309326171875 × 2 - 1) × π
    0.661865234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.07931096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3221435546875 × 2 - 1) × π
    0.355712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11750500394275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07931096} λ = 2.07931096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11750500394275))-π/2
    2×atan(3.05721693557799)-π/2
    2×1.25467085068566-π/2
    2.50934170137132-1.57079632675     		φ = 0.93854537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07931096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.135742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93854537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.774689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108912 KachelY 42224 2.07931096 0.93854537 119.135742 53.774689
    Oben rechts KachelX + 1 108913 KachelY 42224 2.07935889 0.93854537 119.138488 53.774689
    Unten links KachelX 108912 KachelY + 1 42225 2.07931096 0.93851705 119.135742 53.773066
    Unten rechts KachelX + 1 108913 KachelY + 1 42225 2.07935889 0.93851705 119.138488 53.773066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93854537-0.93851705) × R
    2.83200000000816e-05 × 6371000     		dl = 180.42672000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93854537-0.93851705) × R
    2.83200000000816e-05 × 6371000     		dr = 180.42672000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07931096-2.07935889) × cos(0.93854537) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.590962098876009 × 6371000     		do = 180.457386165949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07931096-2.07935889) × cos(0.93851705) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.59098494436385 × 6371000     		du = 180.464362310493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93854537)-sin(0.93851705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590962098876009-0.59098494436385)×R²
    abs(2.07935889-2.07931096)×2.28454878412609e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28454878412609e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28454878412609e-05×40589641000000     		ar = 32559.9636294006m²