Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10891 / 14955
↖ ↑ ↗
← N 69.451770°
W120.173950°		 ← 214.41 m → N 69.451770°
W120.168457°		 →
↑
214.38 m
↓
↑
214.38 m
↓
N 69.449842°
W120.173950°		 ← 214.43 m →
45 967 m²		 N 69.449842°
W120.168457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166191101074219 y=0.228202819824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166191101074219 × 216)
    floor (0.166191101074219 × 65536)
    floor (10891.5)     		tx = 10891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228202819824219 × 216)
    floor (0.228202819824219 × 65536)
    floor (14955.5)     		ty = 14955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10891 / 14955 ti = "16/10891/14955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10891/14955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10891 ÷ 216
    10891 ÷ 65536     		x = 0.166183471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14955 ÷ 216
    14955 ÷ 65536     		y = 0.228195190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166183471679688 × 2 - 1) × π
    -0.667633056640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09743111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228195190429688 × 2 - 1) × π
    0.543609619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.70779998586412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09743111} λ = -2.09743111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70779998586412))-π/2
    2×atan(5.51681105466836)-π/2
    2×1.39147919372752-π/2
    2.78295838745504-1.57079632675     		φ = 1.21216206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09743111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.173950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21216206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.451770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10891 KachelY 14955 -2.09743111 1.21216206 -120.173950 69.451770
    Oben rechts KachelX + 1 10892 KachelY 14955 -2.09733523 1.21216206 -120.168457 69.451770
    Unten links KachelX 10891 KachelY + 1 14956 -2.09743111 1.21212841 -120.173950 69.449842
    Unten rechts KachelX + 1 10892 KachelY + 1 14956 -2.09733523 1.21212841 -120.168457 69.449842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21216206-1.21212841) × R
    3.36499999999962e-05 × 6371000     		dl = 214.384149999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21216206-1.21212841) × R
    3.36499999999962e-05 × 6371000     		dr = 214.384149999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09743111--2.09733523) × cos(1.21216206) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.350995719768106 × 6371000     		do = 214.406254893872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09743111--2.09733523) × cos(1.21212841) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.35102722865756 × 6371000     		du = 214.425502145628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21216206)-sin(1.21212841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350995719768106-0.35102722865756)×R²
    abs(-2.09733523--2.09743111)×3.15088894544679e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.15088894544679e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.15088894544679e-05×40589641000000     		ar = 45967.365867421m²