Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1089 / 65
↖ ↑ ↗
← N 84.532994°
W 84.287110°		 ← 931.10 m → N 84.532994°
W 84.199218°		 →
↑
931.82 m
↓
↑
931.82 m
↓
N 84.524614°
W 84.287110°		 ← 932.53 m →
868 286 m²		 N 84.524614°
W 84.199218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2659912109375 y=0.0159912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2659912109375 × 212)
    floor (0.2659912109375 × 4096)
    floor (1089.5)     		tx = 1089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0159912109375 × 212)
    floor (0.0159912109375 × 4096)
    floor (65.5)     		ty = 65
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1089 / 65 ti = "12/1089/65"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1089/65.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1089 ÷ 212
    1089 ÷ 4096     		x = 0.265869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65 ÷ 212
    65 ÷ 4096     		y = 0.015869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265869140625 × 2 - 1) × π
    -0.46826171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.47108758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.015869140625 × 2 - 1) × π
    0.96826171875 × 3.1415926535     		Φ = 3.04188390229028
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47108758} λ = -1.47108758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.04188390229028))-π/2
    2×atan(20.9446637912814)-π/2
    2×1.5230876984588-π/2
    3.04617539691761-1.57079632675     		φ = 1.47537907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47108758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.287110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47537907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.532994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1089 KachelY 65 -1.47108758 1.47537907 -84.287110 84.532994
    Oben rechts KachelX + 1 1090 KachelY 65 -1.46955359 1.47537907 -84.199218 84.532994
    Unten links KachelX 1089 KachelY + 1 66 -1.47108758 1.47523281 -84.287110 84.524614
    Unten rechts KachelX + 1 1090 KachelY + 1 66 -1.46955359 1.47523281 -84.199218 84.524614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47537907-1.47523281) × R
    0.000146259999999954 × 6371000     		dl = 931.822459999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47537907-1.47523281) × R
    0.000146259999999954 × 6371000     		dr = 931.822459999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47108758--1.46955359) × cos(1.47537907) × R
    0.00153398999999999 × 0.0952725357042943 × 6371000     		do = 931.10328269388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47108758--1.46955359) × cos(1.47523281) × R
    0.00153398999999999 × 0.0954181293810993 × 6371000     		du = 932.526177019201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47537907)-sin(1.47523281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0952725357042943-0.0954181293810993)×R²
    abs(-1.46955359--1.47108758)×0.000145593676804931×R²
    0.00153398999999999×0.000145593676804931×6371000²
    0.00153398999999999×0.000145593676804931×40589641000000     		ar = 868285.895384196m²