Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 10888 / 5771
↖ ↑ ↗
← N 81.404907°
W120.190430°		 ← 91.29 m → N 81.404907°
W120.184936°		 →
↑
91.30 m
↓
↑
91.30 m
↓
N 81.404086°
W120.190430°		 ← 91.30 m →
8 335 m²		 N 81.404086°
W120.184936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166145324707031 y=0.0880661010742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166145324707031 × 216)
    floor (0.166145324707031 × 65536)
    floor (10888.5)     		tx = 10888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0880661010742188 × 216)
    floor (0.0880661010742188 × 65536)
    floor (5771.5)     		ty = 5771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10888 / 5771 ti = "16/10888/5771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10888/5771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10888 ÷ 216
    10888 ÷ 65536     		x = 0.1661376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5771 ÷ 216
    5771 ÷ 65536     		y = 0.0880584716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1661376953125 × 2 - 1) × π
    -0.667724609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.09771873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0880584716796875 × 2 - 1) × π
    0.823883056640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58830495808531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09771873} λ = -2.09771873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58830495808531))-π/2
    2×atan(13.3071962201306)-π/2
    2×1.49578999464735-π/2
    2.9915799892947-1.57079632675     		φ = 1.42078366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09771873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.190430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42078366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.404907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10888 KachelY 5771 -2.09771873 1.42078366 -120.190430 81.404907
    Oben rechts KachelX + 1 10889 KachelY 5771 -2.09762285 1.42078366 -120.184936 81.404907
    Unten links KachelX 10888 KachelY + 1 5772 -2.09771873 1.42076933 -120.190430 81.404086
    Unten rechts KachelX + 1 10889 KachelY + 1 5772 -2.09762285 1.42076933 -120.184936 81.404086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42078366-1.42076933) × R
    1.43299999999513e-05 × 6371000     		dl = 91.2964299996899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42078366-1.42076933) × R
    1.43299999999513e-05 × 6371000     		dr = 91.2964299996899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09771873--2.09762285) × cos(1.42078366) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149450657022054 × 6371000     		do = 91.2921550288345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09771873--2.09762285) × cos(1.42076933) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.14946482606913 × 6371000     		du = 91.3008102122105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42078366)-sin(1.42076933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149450657022054-0.14946482606913)×R²
    abs(-2.09762285--2.09771873)×1.41690470751021e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.41690470751021e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.41690470751021e-05×40589641000000     		ar = 8335.04293527153m²