Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108872 / 100424
↖ ↑ ↗
← S 68.728413°
E119.025879°		 ← 110.81 m → S 68.728413°
E119.028626°		 →
↑
110.79 m
↓
↑
110.79 m
↓
S 68.729410°
E119.025879°		 ← 110.80 m →
12 276 m²		 S 68.729410°
E119.028626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830631256103516 y=0.766178131103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830631256103516 × 217)
    floor (0.830631256103516 × 131072)
    floor (108872.5)     		tx = 108872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766178131103516 × 217)
    floor (0.766178131103516 × 131072)
    floor (100424.5)     		ty = 100424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108872 / 100424 ti = "17/108872/100424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108872/100424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108872 ÷ 217
    108872 ÷ 131072     		x = 0.83062744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100424 ÷ 217
    100424 ÷ 131072     		y = 0.76617431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83062744140625 × 2 - 1) × π
    0.6612548828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.07739348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76617431640625 × 2 - 1) × π
    -0.5323486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67242255394452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07739348} λ = 2.07739348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67242255394452))-π/2
    2×atan(0.187791578910686)-π/2
    2×0.185629611343202-π/2
    0.371259222686404-1.57079632675     		φ = -1.19953710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07739348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.025879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19953710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.728413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108872 KachelY 100424 2.07739348 -1.19953710 119.025879 -68.728413
    Oben rechts KachelX + 1 108873 KachelY 100424 2.07744142 -1.19953710 119.028626 -68.728413
    Unten links KachelX 108872 KachelY + 1 100425 2.07739348 -1.19955449 119.025879 -68.729410
    Unten rechts KachelX + 1 108873 KachelY + 1 100425 2.07744142 -1.19955449 119.028626 -68.729410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19953710--1.19955449) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dl = 110.791690000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19953710--1.19955449) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dr = 110.791690000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07739348-2.07744142) × cos(-1.19953710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362789156531801 × 6371000     		do = 110.805146597629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07739348-2.07744142) × cos(-1.19955449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362772951235896 × 6371000     		du = 110.800197083135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19953710)-sin(-1.19955449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362789156531801-0.362772951235896)×R²
    abs(2.07744142-2.07739348)×1.62052959049586e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62052959049586e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62052959049586e-05×40589641000000     		ar = 12276.0152701663m²