Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108871 / 42328
↖ ↑ ↗
← N 53.605544°
E119.023133°		 ← 181.18 m → N 53.605544°
E119.025879°		 →
↑
181.19 m
↓
↑
181.19 m
↓
N 53.603915°
E119.023133°		 ← 181.19 m →
32 830 m²		 N 53.603915°
E119.025879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830623626708984 y=0.322940826416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830623626708984 × 217)
    floor (0.830623626708984 × 131072)
    floor (108871.5)     		tx = 108871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322940826416016 × 217)
    floor (0.322940826416016 × 131072)
    floor (42328.5)     		ty = 42328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108871 / 42328 ti = "17/108871/42328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108871/42328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108871 ÷ 217
    108871 ÷ 131072     		x = 0.830619812011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42328 ÷ 217
    42328 ÷ 131072     		y = 0.32293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830619812011719 × 2 - 1) × π
    0.661239624023438 × 3.1415926535     		Λ = 2.07734555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32293701171875 × 2 - 1) × π
    0.3541259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11251956638226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07734555} λ = 2.07734555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11251956638226))-π/2
    2×atan(3.04201330131146)-π/2
    2×1.25319478431538-π/2
    2.50638956863075-1.57079632675     		φ = 0.93559324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07734555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.023133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93559324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.605544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108871 KachelY 42328 2.07734555 0.93559324 119.023133 53.605544
    Oben rechts KachelX + 1 108872 KachelY 42328 2.07739348 0.93559324 119.025879 53.605544
    Unten links KachelX 108871 KachelY + 1 42329 2.07734555 0.93556480 119.023133 53.603915
    Unten rechts KachelX + 1 108872 KachelY + 1 42329 2.07739348 0.93556480 119.025879 53.603915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93559324-0.93556480) × R
    2.84400000000185e-05 × 6371000     		dl = 181.191240000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93559324-0.93556480) × R
    2.84400000000185e-05 × 6371000     		dr = 181.191240000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07734555-2.07739348) × cos(0.93559324) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.593341001552608 × 6371000     		do = 181.183812716448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07734555-2.07739348) × cos(0.93556480) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.593363894125156 × 6371000     		du = 181.190803238874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93559324)-sin(0.93556480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593341001552608-0.593363894125156)×R²
    abs(2.07739348-2.07734555)×2.2892572547617e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2892572547617e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2892572547617e-05×40589641000000     		ar = 32829.5530069643m²