Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108870 / 100426
↖ ↑ ↗
← S 68.730406°
E119.020386°		 ← 110.80 m → S 68.730406°
E119.023133°		 →
↑
110.79 m
↓
↑
110.79 m
↓
S 68.731402°
E119.020386°		 ← 110.79 m →
12 275 m²		 S 68.731402°
E119.023133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830615997314453 y=0.766193389892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830615997314453 × 217)
    floor (0.830615997314453 × 131072)
    floor (108870.5)     		tx = 108870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766193389892578 × 217)
    floor (0.766193389892578 × 131072)
    floor (100426.5)     		ty = 100426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108870 / 100426 ti = "17/108870/100426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108870/100426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108870 ÷ 217
    108870 ÷ 131072     		x = 0.830612182617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100426 ÷ 217
    100426 ÷ 131072     		y = 0.766189575195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830612182617188 × 2 - 1) × π
    0.661224365234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.07729761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766189575195312 × 2 - 1) × π
    -0.532379150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67251842774376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07729761} λ = 2.07729761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67251842774376))-π/2
    2×atan(0.187773575481593)-π/2
    2×0.185612221132859-π/2
    0.371224442265718-1.57079632675     		φ = -1.19957188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07729761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.020386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19957188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.730406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108870 KachelY 100426 2.07729761 -1.19957188 119.020386 -68.730406
    Oben rechts KachelX + 1 108871 KachelY 100426 2.07734555 -1.19957188 119.023133 -68.730406
    Unten links KachelX 108870 KachelY + 1 100427 2.07729761 -1.19958927 119.020386 -68.731402
    Unten rechts KachelX + 1 108871 KachelY + 1 100427 2.07734555 -1.19958927 119.023133 -68.731402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19957188--1.19958927) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dl = 110.791690000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19957188--1.19958927) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dr = 110.791690000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07729761-2.07734555) × cos(-1.19957188) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362756745830284 × 6371000     		do = 110.795247535134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07729761-2.07734555) × cos(-1.19958927) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36274054031497 × 6371000     		du = 110.790297953627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19957188)-sin(-1.19958927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362756745830284-0.36274054031497)×R²
    abs(2.07734555-2.07729761)×1.62055153139495e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62055153139495e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62055153139495e-05×40589641000000     		ar = 12274.9185325341m²