Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10887 / 5773
↖ ↑ ↗
← N 81.403265°
W120.195923°		 ← 91.30 m → N 81.403265°
W120.190430°		 →
↑
91.30 m
↓
↑
91.30 m
↓
N 81.402444°
W120.195923°		 ← 91.31 m →
8 336 m²		 N 81.402444°
W120.190430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166130065917969 y=0.0880966186523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166130065917969 × 216)
    floor (0.166130065917969 × 65536)
    floor (10887.5)     		tx = 10887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0880966186523438 × 216)
    floor (0.0880966186523438 × 65536)
    floor (5773.5)     		ty = 5773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10887 / 5773 ti = "16/10887/5773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10887/5773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10887 ÷ 216
    10887 ÷ 65536     		x = 0.166122436523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5773 ÷ 216
    5773 ÷ 65536     		y = 0.0880889892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166122436523438 × 2 - 1) × π
    -0.667755126953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.09781460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0880889892578125 × 2 - 1) × π
    0.823822021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.58811321048683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09781460} λ = -2.09781460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58811321048683))-π/2
    2×atan(13.3046448418311)-π/2
    2×1.49577566488693-π/2
    2.99155132977385-1.57079632675     		φ = 1.42075500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09781460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.195923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42075500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.403265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10887 KachelY 5773 -2.09781460 1.42075500 -120.195923 81.403265
    Oben rechts KachelX + 1 10888 KachelY 5773 -2.09771873 1.42075500 -120.190430 81.403265
    Unten links KachelX 10887 KachelY + 1 5774 -2.09781460 1.42074067 -120.195923 81.402444
    Unten rechts KachelX + 1 10888 KachelY + 1 5774 -2.09771873 1.42074067 -120.190430 81.402444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42075500-1.42074067) × R
    1.43299999999513e-05 × 6371000     		dl = 91.2964299996899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42075500-1.42074067) × R
    1.43299999999513e-05 × 6371000     		dr = 91.2964299996899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09781460--2.09771873) × cos(1.42075500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149478995085512 × 6371000     		do = 91.2999420701189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09781460--2.09771873) × cos(1.42074067) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.1494931640712 × 6371000     		du = 91.3085963132901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42075500)-sin(1.42074067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149478995085512-0.1494931640712)×R²
    abs(-2.09771873--2.09781460)×1.41689856873184e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.41689856873184e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.41689856873184e-05×40589641000000     		ar = 8335.75382073638m²