Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10887 / 5772
↖ ↑ ↗
← N 81.404086°
W120.195923°		 ← 91.29 m → N 81.404086°
W120.190430°		 →
↑
91.30 m
↓
↑
91.30 m
↓
N 81.403265°
W120.195923°		 ← 91.30 m →
8 335 m²		 N 81.403265°
W120.190430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166130065917969 y=0.0880813598632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166130065917969 × 216)
    floor (0.166130065917969 × 65536)
    floor (10887.5)     		tx = 10887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0880813598632812 × 216)
    floor (0.0880813598632812 × 65536)
    floor (5772.5)     		ty = 5772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10887 / 5772 ti = "16/10887/5772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10887/5772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10887 ÷ 216
    10887 ÷ 65536     		x = 0.166122436523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5772 ÷ 216
    5772 ÷ 65536     		y = 0.08807373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166122436523438 × 2 - 1) × π
    -0.667755126953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.09781460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08807373046875 × 2 - 1) × π
    0.8238525390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58820908428607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09781460} λ = -2.09781460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58820908428607))-π/2
    2×atan(13.3059204698283)-π/2
    2×1.49578283010674-π/2
    2.99156566021348-1.57079632675     		φ = 1.42076933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09781460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.195923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42076933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.404086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10887 KachelY 5772 -2.09781460 1.42076933 -120.195923 81.404086
    Oben rechts KachelX + 1 10888 KachelY 5772 -2.09771873 1.42076933 -120.190430 81.404086
    Unten links KachelX 10887 KachelY + 1 5773 -2.09781460 1.42075500 -120.195923 81.403265
    Unten rechts KachelX + 1 10888 KachelY + 1 5773 -2.09771873 1.42075500 -120.190430 81.403265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42076933-1.42075500) × R
    1.43299999999513e-05 × 6371000     		dl = 91.2964299996899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42076933-1.42075500) × R
    1.43299999999513e-05 × 6371000     		dr = 91.2964299996899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09781460--2.09771873) × cos(1.42076933) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.14946482606913 × 6371000     		do = 91.2912878081995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09781460--2.09771873) × cos(1.42075500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149478995085512 × 6371000     		du = 91.2999420701189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42076933)-sin(1.42075500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14946482606913-0.149478995085512)×R²
    abs(-2.09771873--2.09781460)×1.41690163826536e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.41690163826536e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.41690163826536e-05×40589641000000     		ar = 8334.96371872592m²