Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108862 / 100443
↖ ↑ ↗
← S 68.747337°
E118.998413°		 ← 110.71 m → S 68.747337°
E119.001160°		 →
↑
110.73 m
↓
↑
110.73 m
↓
S 68.748333°
E118.998413°		 ← 110.71 m →
12 259 m²		 S 68.748333°
E119.001160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830554962158203 y=0.766323089599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830554962158203 × 217)
    floor (0.830554962158203 × 131072)
    floor (108862.5)     		tx = 108862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766323089599609 × 217)
    floor (0.766323089599609 × 131072)
    floor (100443.5)     		ty = 100443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108862 / 100443 ti = "17/108862/100443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108862/100443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108862 ÷ 217
    108862 ÷ 131072     		x = 0.830551147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100443 ÷ 217
    100443 ÷ 131072     		y = 0.766319274902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830551147460938 × 2 - 1) × π
    0.661102294921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.07691411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766319274902344 × 2 - 1) × π
    -0.532638549804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.6733333550373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07691411} λ = 2.07691411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6733333550373))-π/2
    2×atan(0.187620616003819)-π/2
    2×0.185464467060806-π/2
    0.370928934121612-1.57079632675     		φ = -1.19986739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07691411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.998413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19986739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.747337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108862 KachelY 100443 2.07691411 -1.19986739 118.998413 -68.747337
    Oben rechts KachelX + 1 108863 KachelY 100443 2.07696205 -1.19986739 119.001160 -68.747337
    Unten links KachelX 108862 KachelY + 1 100444 2.07691411 -1.19988477 118.998413 -68.748333
    Unten rechts KachelX + 1 108863 KachelY + 1 100444 2.07696205 -1.19988477 119.001160 -68.748333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19986739--1.19988477) × R
    1.73799999998447e-05 × 6371000     		dl = 110.727979999011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19986739--1.19988477) × R
    1.73799999998447e-05 × 6371000     		dr = 110.727979999011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07691411-2.07696205) × cos(-1.19986739) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362481348993396 × 6371000     		do = 110.711134252434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07691411-2.07696205) × cos(-1.19988477) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362465150934627 × 6371000     		du = 110.706186948348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19986739)-sin(-1.19988477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362481348993396-0.362465150934627)×R²
    abs(2.07696205-2.07691411)×1.61980587687349e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61980587687349e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61980587687349e-05×40589641000000     		ar = 12258.5463570014m²