Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108856 / 100408
↖ ↑ ↗
← S 68.712465°
E118.981934°		 ← 110.88 m → S 68.712465°
E118.984680°		 →
↑
110.86 m
↓
↑
110.86 m
↓
S 68.713462°
E118.981934°		 ← 110.88 m →
12 292 m²		 S 68.713462°
E118.984680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830509185791016 y=0.766056060791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830509185791016 × 217)
    floor (0.830509185791016 × 131072)
    floor (108856.5)     		tx = 108856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766056060791016 × 217)
    floor (0.766056060791016 × 131072)
    floor (100408.5)     		ty = 100408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108856 / 100408 ti = "17/108856/100408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108856/100408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108856 ÷ 217
    108856 ÷ 131072     		x = 0.83050537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100408 ÷ 217
    100408 ÷ 131072     		y = 0.76605224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83050537109375 × 2 - 1) × π
    0.6610107421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.07662649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76605224609375 × 2 - 1) × π
    -0.5321044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6716555635506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07662649} λ = 2.07662649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6716555635506))-π/2
    2×atan(0.187935668498371)-π/2
    2×0.185768788970703-π/2
    0.371537577941406-1.57079632675     		φ = -1.19925875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07662649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.981934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19925875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.712465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108856 KachelY 100408 2.07662649 -1.19925875 118.981934 -68.712465
    Oben rechts KachelX + 1 108857 KachelY 100408 2.07667443 -1.19925875 118.984680 -68.712465
    Unten links KachelX 108856 KachelY + 1 100409 2.07662649 -1.19927615 118.981934 -68.713462
    Unten rechts KachelX + 1 108857 KachelY + 1 100409 2.07667443 -1.19927615 118.984680 -68.713462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19925875--1.19927615) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dl = 110.855399999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19925875--1.19927615) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dr = 110.855399999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07662649-2.07667443) × cos(-1.19925875) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363048528836867 × 6371000     		do = 110.884365575839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07662649-2.07667443) × cos(-1.19927615) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363032315979869 × 6371000     		du = 110.879413751992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19925875)-sin(-1.19927615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363048528836867-0.363032315979869)×R²
    abs(2.07667443-2.07662649)×1.62128569985986e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62128569985986e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62128569985986e-05×40589641000000     		ar = 12291.8562317645m²