Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108854 / 42295
↖ ↑ ↗
← N 53.659289°
E118.976441°		 ← 180.95 m → N 53.659289°
E118.979187°		 →
↑
181 m
↓
↑
181 m
↓
N 53.657661°
E118.976441°		 ← 180.96 m →
32 753 m²		 N 53.657661°
E118.979187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830493927001953 y=0.322689056396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830493927001953 × 217)
    floor (0.830493927001953 × 131072)
    floor (108854.5)     		tx = 108854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322689056396484 × 217)
    floor (0.322689056396484 × 131072)
    floor (42295.5)     		ty = 42295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108854 / 42295 ti = "17/108854/42295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108854/42295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108854 ÷ 217
    108854 ÷ 131072     		x = 0.830490112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42295 ÷ 217
    42295 ÷ 131072     		y = 0.322685241699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830490112304688 × 2 - 1) × π
    0.660980224609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.07653062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322685241699219 × 2 - 1) × π
    0.354629516601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.11410148406972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07653062} λ = 2.07653062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11410148406972))-π/2
    2×atan(3.04682932422989)-π/2
    2×1.25366379388396-π/2
    2.50732758776793-1.57079632675     		φ = 0.93653126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07653062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.976441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93653126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.659289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108854 KachelY 42295 2.07653062 0.93653126 118.976441 53.659289
    Oben rechts KachelX + 1 108855 KachelY 42295 2.07657855 0.93653126 118.979187 53.659289
    Unten links KachelX 108854 KachelY + 1 42296 2.07653062 0.93650285 118.976441 53.657661
    Unten rechts KachelX + 1 108855 KachelY + 1 42296 2.07657855 0.93650285 118.979187 53.657661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93653126-0.93650285) × R
    2.84099999999787e-05 × 6371000     		dl = 181.000109999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93653126-0.93650285) × R
    2.84099999999787e-05 × 6371000     		dr = 181.000109999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07653062-2.07657855) × cos(0.93653126) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.592585680291315 × 6371000     		do = 180.953166281121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07653062-2.07657855) × cos(0.93650285) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.592608564518106 × 6371000     		du = 180.960154255069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93653126)-sin(0.93650285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592585680291315-0.592608564518106)×R²
    abs(2.07657855-2.07653062)×2.28842267910867e-05×R²
    4.79299999995852e-05×2.28842267910867e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×2.28842267910867e-05×40589641000000     		ar = 32753.1754160695m²