Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108854 / 42231
↖ ↑ ↗
← N 53.763326°
E118.976441°		 ← 180.51 m → N 53.763326°
E118.979187°		 →
↑
180.55 m
↓
↑
180.55 m
↓
N 53.761702°
E118.976441°		 ← 180.51 m →
32 592 m²		 N 53.761702°
E118.979187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830493927001953 y=0.322200775146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830493927001953 × 217)
    floor (0.830493927001953 × 131072)
    floor (108854.5)     		tx = 108854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322200775146484 × 217)
    floor (0.322200775146484 × 131072)
    floor (42231.5)     		ty = 42231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108854 / 42231 ti = "17/108854/42231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108854/42231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108854 ÷ 217
    108854 ÷ 131072     		x = 0.830490112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42231 ÷ 217
    42231 ÷ 131072     		y = 0.322196960449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830490112304688 × 2 - 1) × π
    0.660980224609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.07653062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322196960449219 × 2 - 1) × π
    0.355606079101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.11716944564541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07653062} λ = 2.07653062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11716944564541))-π/2
    2×atan(3.05619123316959)-π/2
    2×1.25457168614804-π/2
    2.50914337229607-1.57079632675     		φ = 0.93834705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07653062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.976441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93834705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.763326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108854 KachelY 42231 2.07653062 0.93834705 118.976441 53.763326
    Oben rechts KachelX + 1 108855 KachelY 42231 2.07657855 0.93834705 118.979187 53.763326
    Unten links KachelX 108854 KachelY + 1 42232 2.07653062 0.93831871 118.976441 53.761702
    Unten rechts KachelX + 1 108855 KachelY + 1 42232 2.07657855 0.93831871 118.979187 53.761702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93834705-0.93831871) × R
    2.83399999999601e-05 × 6371000     		dl = 180.554139999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93834705-0.93831871) × R
    2.83399999999601e-05 × 6371000     		dr = 180.554139999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07653062-2.07657855) × cos(0.93834705) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.59112207186318 × 6371000     		do = 180.506235840385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07653062-2.07657855) × cos(0.93831871) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.591144930162723 × 6371000     		du = 180.513215897135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93834705)-sin(0.93831871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59112207186318-0.591144930162723)×R²
    abs(2.07657855-2.07653062)×2.28582995422943e-05×R²
    4.79299999995852e-05×2.28582995422943e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×2.28582995422943e-05×40589641000000     		ar = 32591.7783180598m²