Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108854 / 100407
↖ ↑ ↗
← S 68.711467°
E118.976441°		 ← 110.87 m → S 68.711467°
E118.979187°		 →
↑
110.92 m
↓
↑
110.92 m
↓
S 68.712465°
E118.976441°		 ← 110.86 m →
12 297 m²		 S 68.712465°
E118.979187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830493927001953 y=0.766048431396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830493927001953 × 217)
    floor (0.830493927001953 × 131072)
    floor (108854.5)     		tx = 108854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766048431396484 × 217)
    floor (0.766048431396484 × 131072)
    floor (100407.5)     		ty = 100407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108854 / 100407 ti = "17/108854/100407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108854/100407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108854 ÷ 217
    108854 ÷ 131072     		x = 0.830490112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100407 ÷ 217
    100407 ÷ 131072     		y = 0.766044616699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830490112304688 × 2 - 1) × π
    0.660980224609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.07653062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766044616699219 × 2 - 1) × π
    -0.532089233398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.67160762665098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07653062} λ = 2.07653062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67160762665098))-π/2
    2×atan(0.187944677767584)-π/2
    2×0.185777490875509-π/2
    0.371554981751018-1.57079632675     		φ = -1.19924134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07653062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.976441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19924134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.711467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108854 KachelY 100407 2.07653062 -1.19924134 118.976441 -68.711467
    Oben rechts KachelX + 1 108855 KachelY 100407 2.07657855 -1.19924134 118.979187 -68.711467
    Unten links KachelX 108854 KachelY + 1 100408 2.07653062 -1.19925875 118.976441 -68.712465
    Unten rechts KachelX + 1 108855 KachelY + 1 100408 2.07657855 -1.19925875 118.979187 -68.712465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19924134--1.19925875) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dl = 110.919110000679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19924134--1.19925875) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dr = 110.919110000679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07653062-2.07657855) × cos(-1.19924134) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.363064750901588 × 6371000     		do = 110.866189355794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07653062-2.07657855) × cos(-1.19925875) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.363048528836867 × 6371000     		du = 110.86123575318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19924134)-sin(-1.19925875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363064750901588-0.363048528836867)×R²
    abs(2.07657855-2.07653062)×1.62220647212941e-05×R²
    4.79299999995852e-05×1.62220647212941e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×1.62220647212941e-05×40589641000000     		ar = 12296.9043281883m²