Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108852 / 100375
↖ ↑ ↗
← S 68.679535°
E118.970947°		 ← 111.05 m → S 68.679535°
E118.973694°		 →
↑
111.05 m
↓
↑
111.05 m
↓
S 68.680533°
E118.970947°		 ← 111.04 m →
12 331 m²		 S 68.680533°
E118.973694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830478668212891 y=0.765804290771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830478668212891 × 217)
    floor (0.830478668212891 × 131072)
    floor (108852.5)     		tx = 108852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765804290771484 × 217)
    floor (0.765804290771484 × 131072)
    floor (100375.5)     		ty = 100375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108852 / 100375 ti = "17/108852/100375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108852/100375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108852 ÷ 217
    108852 ÷ 131072     		x = 0.830474853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100375 ÷ 217
    100375 ÷ 131072     		y = 0.765800476074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830474853515625 × 2 - 1) × π
    0.66094970703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.07643474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765800476074219 × 2 - 1) × π
    -0.531600952148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.67007364586314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07643474} λ = 2.07643474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67007364586314))-π/2
    2×atan(0.188233202531601)-π/2
    2×0.186056157136315-π/2
    0.37211231427263-1.57079632675     		φ = -1.19868401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07643474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.970947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19868401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.679535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108852 KachelY 100375 2.07643474 -1.19868401 118.970947 -68.679535
    Oben rechts KachelX + 1 108853 KachelY 100375 2.07648268 -1.19868401 118.973694 -68.679535
    Unten links KachelX 108852 KachelY + 1 100376 2.07643474 -1.19870144 118.970947 -68.680533
    Unten rechts KachelX + 1 108853 KachelY + 1 100376 2.07648268 -1.19870144 118.973694 -68.680533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19868401--1.19870144) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dl = 111.046529999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19868401--1.19870144) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dr = 111.046529999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07643474-2.07648268) × cos(-1.19868401) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363583994468473 × 6371000     		do = 111.047910562617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07643474-2.07648268) × cos(-1.19870144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363567757297697 × 6371000     		du = 111.042951312717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19868401)-sin(-1.19870144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363583994468473-0.363567757297697)×R²
    abs(2.07648268-2.07643474)×1.62371707765896e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62371707765896e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62371707765896e-05×40589641000000     		ar = 12331.2097781774m²