Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108851 / 42230
↖ ↑ ↗
← N 53.764949°
E118.968201°		 ← 180.50 m → N 53.764949°
E118.970947°		 →
↑
180.49 m
↓
↑
180.49 m
↓
N 53.763326°
E118.968201°		 ← 180.51 m →
32 579 m²		 N 53.763326°
E118.970947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830471038818359 y=0.322193145751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830471038818359 × 217)
    floor (0.830471038818359 × 131072)
    floor (108851.5)     		tx = 108851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322193145751953 × 217)
    floor (0.322193145751953 × 131072)
    floor (42230.5)     		ty = 42230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108851 / 42230 ti = "17/108851/42230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108851/42230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108851 ÷ 217
    108851 ÷ 131072     		x = 0.830467224121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42230 ÷ 217
    42230 ÷ 131072     		y = 0.322189331054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830467224121094 × 2 - 1) × π
    0.660934448242188 × 3.1415926535     		Λ = 2.07638681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322189331054688 × 2 - 1) × π
    0.355621337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11721738254503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07638681} λ = 2.07638681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11721738254503))-π/2
    2×atan(3.05633774101349)-π/2
    2×1.25458585415393-π/2
    2.50917170830785-1.57079632675     		φ = 0.93837538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07638681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.968201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93837538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.764949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108851 KachelY 42230 2.07638681 0.93837538 118.968201 53.764949
    Oben rechts KachelX + 1 108852 KachelY 42230 2.07643474 0.93837538 118.970947 53.764949
    Unten links KachelX 108851 KachelY + 1 42231 2.07638681 0.93834705 118.968201 53.763326
    Unten rechts KachelX + 1 108852 KachelY + 1 42231 2.07643474 0.93834705 118.970947 53.763326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93837538-0.93834705) × R
    2.83300000000208e-05 × 6371000     		dl = 180.490430000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93837538-0.93834705) × R
    2.83300000000208e-05 × 6371000     		dr = 180.490430000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07638681-2.07643474) × cos(0.93837538) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.591099221154864 × 6371000     		do = 180.499258103379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07638681-2.07643474) × cos(0.93834705) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.59112207186318 × 6371000     		du = 180.506235842057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93837538)-sin(0.93834705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591099221154864-0.59112207186318)×R²
    abs(2.07643474-2.07638681)×2.28507083167573e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28507083167573e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28507083167573e-05×40589641000000     		ar = 32579.0184195749m²