Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108831 / 100403
↖ ↑ ↗
← S 68.707478°
E118.913269°		 ← 110.91 m → S 68.707478°
E118.916016°		 →
↑
110.92 m
↓
↑
110.92 m
↓
S 68.708476°
E118.913269°		 ← 110.90 m →
12 302 m²		 S 68.708476°
E118.916016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830318450927734 y=0.766017913818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830318450927734 × 217)
    floor (0.830318450927734 × 131072)
    floor (108831.5)     		tx = 108831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766017913818359 × 217)
    floor (0.766017913818359 × 131072)
    floor (100403.5)     		ty = 100403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108831 / 100403 ti = "17/108831/100403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108831/100403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108831 ÷ 217
    108831 ÷ 131072     		x = 0.830314636230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100403 ÷ 217
    100403 ÷ 131072     		y = 0.766014099121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830314636230469 × 2 - 1) × π
    0.660629272460938 × 3.1415926535     		Λ = 2.07542807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766014099121094 × 2 - 1) × π
    -0.532028198242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.6714158790525
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07542807} λ = 2.07542807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6714158790525))-π/2
    2×atan(0.187980719163508)-π/2
    2×0.185812302381749-π/2
    0.371624604763499-1.57079632675     		φ = -1.19917172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07542807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.913269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19917172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.707478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108831 KachelY 100403 2.07542807 -1.19917172 118.913269 -68.707478
    Oben rechts KachelX + 1 108832 KachelY 100403 2.07547601 -1.19917172 118.916016 -68.707478
    Unten links KachelX 108831 KachelY + 1 100404 2.07542807 -1.19918913 118.913269 -68.708476
    Unten rechts KachelX + 1 108832 KachelY + 1 100404 2.07547601 -1.19918913 118.916016 -68.708476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19917172--1.19918913) × R
    1.74099999998845e-05 × 6371000     		dl = 110.919109999264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19917172--1.19918913) × R
    1.74099999998845e-05 × 6371000     		dr = 110.919109999264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07542807-2.07547601) × cos(-1.19917172) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363129619425173 × 6371000     		do = 110.909132728779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07542807-2.07547601) × cos(-1.19918913) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363113397800546 × 6371000     		du = 110.904178227073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19917172)-sin(-1.19918913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363129619425173-0.363113397800546)×R²
    abs(2.07547601-2.07542807)×1.62216246265556e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62216246265556e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62216246265556e-05×40589641000000     		ar = 12301.6675188157m²