Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108821 / 100061
↖ ↑ ↗
← S 68.363763°
E118.885803°		 ← 112.61 m → S 68.363763°
E118.888550°		 →
↑
112.58 m
↓
↑
112.58 m
↓
S 68.364776°
E118.885803°		 ← 112.61 m →
12 677 m²		 S 68.364776°
E118.888550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830242156982422 y=0.763408660888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830242156982422 × 217)
    floor (0.830242156982422 × 131072)
    floor (108821.5)     		tx = 108821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763408660888672 × 217)
    floor (0.763408660888672 × 131072)
    floor (100061.5)     		ty = 100061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108821 / 100061 ti = "17/108821/100061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108821/100061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108821 ÷ 217
    108821 ÷ 131072     		x = 0.830238342285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100061 ÷ 217
    100061 ÷ 131072     		y = 0.763404846191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830238342285156 × 2 - 1) × π
    0.660476684570312 × 3.1415926535     		Λ = 2.07494870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763404846191406 × 2 - 1) × π
    -0.526809692382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.65502145938244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07494870} λ = 2.07494870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65502145938244))-π/2
    2×atan(0.191087955031959)-π/2
    2×0.188811784964152-π/2
    0.377623569928305-1.57079632675     		φ = -1.19317276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07494870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.885803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19317276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.363763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108821 KachelY 100061 2.07494870 -1.19317276 118.885803 -68.363763
    Oben rechts KachelX + 1 108822 KachelY 100061 2.07499664 -1.19317276 118.888550 -68.363763
    Unten links KachelX 108821 KachelY + 1 100062 2.07494870 -1.19319043 118.885803 -68.364776
    Unten rechts KachelX + 1 108822 KachelY + 1 100062 2.07499664 -1.19319043 118.888550 -68.364776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19317276--1.19319043) × R
    1.76700000000807e-05 × 6371000     		dl = 112.575570000514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19317276--1.19319043) × R
    1.76700000000807e-05 × 6371000     		dr = 112.575570000514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07494870-2.07499664) × cos(-1.19317276) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368712514639736 × 6371000     		do = 112.614292631028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07494870-2.07499664) × cos(-1.19319043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368696089548881 × 6371000     		du = 112.609275985499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19317276)-sin(-1.19319043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368712514639736-0.368696089548881)×R²
    abs(2.07499664-2.07494870)×1.64250908553654e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64250908553654e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64250908553654e-05×40589641000000     		ar = 12677.3358076905m²