Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108820 / 100337
↖ ↑ ↗
← S 68.641555°
E118.883056°		 ← 111.24 m → S 68.641555°
E118.885803°		 →
↑
111.24 m
↓
↑
111.24 m
↓
S 68.642555°
E118.883056°		 ← 111.23 m →
12 373 m²		 S 68.642555°
E118.885803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830234527587891 y=0.765514373779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830234527587891 × 217)
    floor (0.830234527587891 × 131072)
    floor (108820.5)     		tx = 108820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765514373779297 × 217)
    floor (0.765514373779297 × 131072)
    floor (100337.5)     		ty = 100337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108820 / 100337 ti = "17/108820/100337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108820/100337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108820 ÷ 217
    108820 ÷ 131072     		x = 0.830230712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100337 ÷ 217
    100337 ÷ 131072     		y = 0.765510559082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830230712890625 × 2 - 1) × π
    0.66046142578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.07490076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765510559082031 × 2 - 1) × π
    -0.531021118164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.66825204367757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07490076} λ = 2.07490076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66825204367757))-π/2
    2×atan(0.1885764010354)-π/2
    2×0.18638759094058-π/2
    0.372775181881159-1.57079632675     		φ = -1.19802114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07490076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.883056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19802114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.641555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108820 KachelY 100337 2.07490076 -1.19802114 118.883056 -68.641555
    Oben rechts KachelX + 1 108821 KachelY 100337 2.07494870 -1.19802114 118.885803 -68.641555
    Unten links KachelX 108820 KachelY + 1 100338 2.07490076 -1.19803860 118.883056 -68.642555
    Unten rechts KachelX + 1 108821 KachelY + 1 100338 2.07494870 -1.19803860 118.885803 -68.642555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19802114--1.19803860) × R
    1.74600000000247e-05 × 6371000     		dl = 111.237660000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19802114--1.19803860) × R
    1.74600000000247e-05 × 6371000     		dr = 111.237660000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07490076-2.07494870) × cos(-1.19802114) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.364201418662843 × 6371000     		do = 111.236487805106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07490076-2.07494870) × cos(-1.19803860) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.364185157756529 × 6371000     		du = 111.231521305762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19802114)-sin(-1.19803860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364201418662843-0.364185157756529)×R²
    abs(2.07494870-2.07490076)×1.62609063147356e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.62609063147356e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.62609063147356e-05×40589641000000     		ar = 12373.410379618m²