Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108815 / 100373
↖ ↑ ↗
← S 68.677537°
E118.869324°		 ← 111.06 m → S 68.677537°
E118.872071°		 →
↑
111.05 m
↓
↑
111.05 m
↓
S 68.678536°
E118.869324°		 ← 111.05 m →
12 332 m²		 S 68.678536°
E118.872071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830196380615234 y=0.765789031982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830196380615234 × 217)
    floor (0.830196380615234 × 131072)
    floor (108815.5)     		tx = 108815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765789031982422 × 217)
    floor (0.765789031982422 × 131072)
    floor (100373.5)     		ty = 100373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108815 / 100373 ti = "17/108815/100373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108815/100373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108815 ÷ 217
    108815 ÷ 131072     		x = 0.830192565917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100373 ÷ 217
    100373 ÷ 131072     		y = 0.765785217285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830192565917969 × 2 - 1) × π
    0.660385131835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.07466108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765785217285156 × 2 - 1) × π
    -0.531570434570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.6699777720639
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07466108} λ = 2.07466108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6699777720639))-π/2
    2×atan(0.188251250028999)-π/2
    2×0.186073587003985-π/2
    0.372147174007969-1.57079632675     		φ = -1.19864915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07466108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.869324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19864915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.677537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108815 KachelY 100373 2.07466108 -1.19864915 118.869324 -68.677537
    Oben rechts KachelX + 1 108816 KachelY 100373 2.07470902 -1.19864915 118.872071 -68.677537
    Unten links KachelX 108815 KachelY + 1 100374 2.07466108 -1.19866658 118.869324 -68.678536
    Unten rechts KachelX + 1 108816 KachelY + 1 100374 2.07470902 -1.19866658 118.872071 -68.678536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19864915--1.19866658) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dl = 111.046529999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19864915--1.19866658) × R
    1.7429999999985e-05 × 6371000     		dr = 111.046529999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07466108-2.07470902) × cos(-1.19864915) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363616468478646 × 6371000     		do = 111.057828961204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07466108-2.07470902) × cos(-1.19866658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363600231528791 × 6371000     		du = 111.05286977878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19864915)-sin(-1.19866658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363616468478646-0.363600231528791)×R²
    abs(2.07470902-2.07466108)×1.62369498544201e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62369498544201e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62369498544201e-05×40589641000000     		ar = 12332.3111856152m²