Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108813 / 100463
↖ ↑ ↗
← S 68.767240°
E118.863830°		 ← 110.61 m → S 68.767240°
E118.866577°		 →
↑
110.60 m
↓
↑
110.60 m
↓
S 68.768235°
E118.863830°		 ← 110.61 m →
12 234 m²		 S 68.768235°
E118.866577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830181121826172 y=0.766475677490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830181121826172 × 217)
    floor (0.830181121826172 × 131072)
    floor (108813.5)     		tx = 108813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766475677490234 × 217)
    floor (0.766475677490234 × 131072)
    floor (100463.5)     		ty = 100463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108813 / 100463 ti = "17/108813/100463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108813/100463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108813 ÷ 217
    108813 ÷ 131072     		x = 0.830177307128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100463 ÷ 217
    100463 ÷ 131072     		y = 0.766471862792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830177307128906 × 2 - 1) × π
    0.660354614257812 × 3.1415926535     		Λ = 2.07456520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766471862792969 × 2 - 1) × π
    -0.532943725585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.6742920930297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07456520} λ = 2.07456520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6742920930297))-π/2
    2×atan(0.18744082319197)-π/2
    2×0.185290782353344-π/2
    0.370581564706688-1.57079632675     		φ = -1.20021476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07456520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.863830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20021476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.767240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108813 KachelY 100463 2.07456520 -1.20021476 118.863830 -68.767240
    Oben rechts KachelX + 1 108814 KachelY 100463 2.07461314 -1.20021476 118.866577 -68.767240
    Unten links KachelX 108813 KachelY + 1 100464 2.07456520 -1.20023212 118.863830 -68.768235
    Unten rechts KachelX + 1 108814 KachelY + 1 100464 2.07461314 -1.20023212 118.866577 -68.768235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20021476--1.20023212) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dl = 110.600559999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20021476--1.20023212) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dr = 110.600559999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07456520-2.07461314) × cos(-1.20021476) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362157581407804 × 6371000     		do = 110.612247298016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07456520-2.07461314) × cos(-1.20023212) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362141399804119 × 6371000     		du = 110.607305019736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20021476)-sin(-1.20023212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362157581407804-0.362141399804119)×R²
    abs(2.07461314-2.07456520)×1.61816036843843e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61816036843843e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61816036843843e-05×40589641000000     		ar = 12233.503184857m²