Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108813 / 100445
↖ ↑ ↗
← S 68.749328°
E118.863830°		 ← 110.70 m → S 68.749328°
E118.866577°		 →
↑
110.73 m
↓
↑
110.73 m
↓
S 68.750324°
E118.863830°		 ← 110.70 m →
12 257 m²		 S 68.750324°
E118.866577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830181121826172 y=0.766338348388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830181121826172 × 217)
    floor (0.830181121826172 × 131072)
    floor (108813.5)     		tx = 108813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766338348388672 × 217)
    floor (0.766338348388672 × 131072)
    floor (100445.5)     		ty = 100445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108813 / 100445 ti = "17/108813/100445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108813/100445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108813 ÷ 217
    108813 ÷ 131072     		x = 0.830177307128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100445 ÷ 217
    100445 ÷ 131072     		y = 0.766334533691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830177307128906 × 2 - 1) × π
    0.660354614257812 × 3.1415926535     		Λ = 2.07456520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766334533691406 × 2 - 1) × π
    -0.532669067382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.67342922883654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07456520} λ = 2.07456520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67342922883654))-π/2
    2×atan(0.187602628964804)-π/2
    2×0.185447091605179-π/2
    0.370894183210358-1.57079632675     		φ = -1.19990214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07456520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.863830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19990214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.749328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108813 KachelY 100445 2.07456520 -1.19990214 118.863830 -68.749328
    Oben rechts KachelX + 1 108814 KachelY 100445 2.07461314 -1.19990214 118.866577 -68.749328
    Unten links KachelX 108813 KachelY + 1 100446 2.07456520 -1.19991952 118.863830 -68.750324
    Unten rechts KachelX + 1 108814 KachelY + 1 100446 2.07461314 -1.19991952 118.866577 -68.750324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19990214--1.19991952) × R
    1.73799999998447e-05 × 6371000     		dl = 110.727979999011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19990214--1.19991952) × R
    1.73799999998447e-05 × 6371000     		dr = 110.727979999011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07456520-2.07461314) × cos(-1.19990214) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362448962086407 × 6371000     		do = 110.7012424574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07456520-2.07461314) × cos(-1.19991952) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36243276380873 × 6371000     		du = 110.696295086454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19990214)-sin(-1.19991952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362448962086407-0.36243276380873)×R²
    abs(2.07461314-2.07456520)×1.61982776765157e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61982776765157e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61982776765157e-05×40589641000000     		ar = 12257.4510549196m²