Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108802 / 100453
↖ ↑ ↗
← S 68.757291°
E118.833618°		 ← 110.66 m → S 68.757291°
E118.836365°		 →
↑
110.60 m
↓
↑
110.60 m
↓
S 68.758286°
E118.833618°		 ← 110.66 m →
12 239 m²		 S 68.758286°
E118.836365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830097198486328 y=0.766399383544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830097198486328 × 217)
    floor (0.830097198486328 × 131072)
    floor (108802.5)     		tx = 108802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766399383544922 × 217)
    floor (0.766399383544922 × 131072)
    floor (100453.5)     		ty = 100453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108802 / 100453 ti = "17/108802/100453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108802/100453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108802 ÷ 217
    108802 ÷ 131072     		x = 0.830093383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100453 ÷ 217
    100453 ÷ 131072     		y = 0.766395568847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830093383789062 × 2 - 1) × π
    0.660186767578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.07403790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766395568847656 × 2 - 1) × π
    -0.532791137695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.6738127240335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07403790} λ = 2.07403790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6738127240335))-π/2
    2×atan(0.18753069805112)-π/2
    2×0.18537760530659-π/2
    0.37075521061318-1.57079632675     		φ = -1.20004112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07403790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.833618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20004112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.757291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108802 KachelY 100453 2.07403790 -1.20004112 118.833618 -68.757291
    Oben rechts KachelX + 1 108803 KachelY 100453 2.07408584 -1.20004112 118.836365 -68.757291
    Unten links KachelX 108802 KachelY + 1 100454 2.07403790 -1.20005848 118.833618 -68.758286
    Unten rechts KachelX + 1 108803 KachelY + 1 100454 2.07408584 -1.20005848 118.836365 -68.758286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20004112--1.20005848) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dl = 110.600559999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20004112--1.20005848) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dr = 110.600559999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07403790-2.07408584) × cos(-1.20004112) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362319428723122 × 6371000     		do = 110.661679634064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07403790-2.07408584) × cos(-1.20005848) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362303248211342 × 6371000     		du = 110.65673768928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20004112)-sin(-1.20005848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362319428723122-0.362303248211342)×R²
    abs(2.07408584-2.07403790)×1.61805117804836e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61805117804836e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61805117804836e-05×40589641000000     		ar = 12238.9704474696m²