Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 10880 / 23424
↖ ↑ ↗
← S 60.930432°
W 60.468750°		 ← 593.56 m → S 60.930432°
W 60.457763°		 →
↑
593.46 m
↓
↑
593.46 m
↓
S 60.935770°
W 60.468750°		 ← 593.46 m →
352 223 m²		 S 60.935770°
W 60.457763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.332046508789062 y=0.714859008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.332046508789062 × 215)
    floor (0.332046508789062 × 32768)
    floor (10880.5)     		tx = 10880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.714859008789062 × 215)
    floor (0.714859008789062 × 32768)
    floor (23424.5)     		ty = 23424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10880 / 23424 ti = "15/10880/23424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10880/23424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10880 ÷ 215
    10880 ÷ 32768     		x = 0.33203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23424 ÷ 215
    23424 ÷ 32768     		y = 0.71484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33203125 × 2 - 1) × π
    -0.3359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.05537878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71484375 × 2 - 1) × π
    -0.4296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.34990309330078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05537878} λ = -1.05537878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.34990309330078))-π/2
    2×atan(0.259265383981145)-π/2
    2×0.253679835104725-π/2
    0.507359670209449-1.57079632675     		φ = -1.06343666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05537878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06343666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.930432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10880 KachelY 23424 -1.05537878 -1.06343666 -60.468750 -60.930432
    Oben rechts KachelX + 1 10881 KachelY 23424 -1.05518703 -1.06343666 -60.457763 -60.930432
    Unten links KachelX 10880 KachelY + 1 23425 -1.05537878 -1.06352981 -60.468750 -60.935770
    Unten rechts KachelX + 1 10881 KachelY + 1 23425 -1.05518703 -1.06352981 -60.457763 -60.935770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06343666--1.06352981) × R
    9.31499999998753e-05 × 6371000     		dl = 593.458649999205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06343666--1.06352981) × R
    9.31499999998753e-05 × 6371000     		dr = 593.458649999205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05537878--1.05518703) × cos(-1.06343666) × R
    0.000191750000000157 × 0.485871211628651 × 6371000     		do = 593.559342571103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05537878--1.05518703) × cos(-1.06352981) × R
    0.000191750000000157 × 0.485789793587712 × 6371000     		du = 593.459879096634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06343666)-sin(-1.06352981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485871211628651-0.485789793587712)×R²
    abs(-1.05518703--1.05537878)×8.14180409390297e-05×R²
    0.000191750000000157×8.14180409390297e-05×6371000²
    0.000191750000000157×8.14180409390297e-05×40589641000000     		ar = 352223.412661295m²