Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1088 / 67
↖ ↑ ↗
← N 84.516221°
W 84.375000°		 ← 933.95 m → N 84.516221°
W 84.287110°		 →
↑
934.63 m
↓
↑
934.63 m
↓
N 84.507816°
W 84.375000°		 ← 935.37 m →
873 556 m²		 N 84.507816°
W 84.287110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2657470703125 y=0.0164794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2657470703125 × 212)
    floor (0.2657470703125 × 4096)
    floor (1088.5)     		tx = 1088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0164794921875 × 212)
    floor (0.0164794921875 × 4096)
    floor (67.5)     		ty = 67
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1088 / 67 ti = "12/1088/67"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1088/67.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1088 ÷ 212
    1088 ÷ 4096     		x = 0.265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67 ÷ 212
    67 ÷ 4096     		y = 0.016357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265625 × 2 - 1) × π
    -0.46875 × 3.1415926535     		Λ = -1.47262156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.016357421875 × 2 - 1) × π
    0.96728515625 × 3.1415926535     		Φ = 3.0388159407146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47262156} λ = -1.47262156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.0388159407146))-π/2
    2×atan(20.8805048364822)-π/2
    2×1.52294132882859-π/2
    3.04588265765718-1.57079632675     		φ = 1.47508633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47262156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47508633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.516221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1088 KachelY 67 -1.47262156 1.47508633 -84.375000 84.516221
    Oben rechts KachelX + 1 1089 KachelY 67 -1.47108758 1.47508633 -84.287110 84.516221
    Unten links KachelX 1088 KachelY + 1 68 -1.47262156 1.47493963 -84.375000 84.507816
    Unten rechts KachelX + 1 1089 KachelY + 1 68 -1.47108758 1.47493963 -84.287110 84.507816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47508633-1.47493963) × R
    0.000146699999999944 × 6371000     		dl = 934.625699999644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47508633-1.47493963) × R
    0.000146699999999944 × 6371000     		dr = 934.625699999644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47262156--1.47108758) × cos(1.47508633) × R
    0.00153398000000005 × 0.0955639400098479 × 6371000     		do = 933.945103248196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47262156--1.47108758) × cos(1.47493963) × R
    0.00153398000000005 × 0.0957099675781793 × 6371000     		du = 935.37222871381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47508633)-sin(1.47493963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0955639400098479-0.0957099675781793)×R²
    abs(-1.47108758--1.47262156)×0.000146027568331486×R²
    0.00153398000000005×0.000146027568331486×6371000²
    0.00153398000000005×0.000146027568331486×40589641000000     		ar = 873556.011520166m²